T16. A tabela fornece o número de usuários ativos do Twitter em todo o mundo, a cada semestre, de 2010 a 2016.
Anos a partir de
jan. 2010
Usuários do Twitter (milhões)
Anos a partir de
jan. 2010
Usuários do Twitter (milhões)
0
30
3,5
232
0,5
49
4,0
255
1,0
68
4,5
284
1,5
101
5,0
302
2,0
138
5,5
307
2,5
167
6,0
310
3,0
204
6,5
317
Fonte: www.statistica.com/statistics/282087/number-of-monthly-active-twitter-users/. Acesso em: 9 de mar. 2019.
Use uma calculadora ou um computador para ajustar tanto uma função exponencial quanto uma função logística a esses dados. Trace os pontos da tabela e os gráficos das duas funções de ajuste e discuta a precisão dos modelos.
| Anos a partir de
|
Usuários do Twitter (milhões) | Anos a partir de
|
Usuários do Twitter (milhões) |
| 0 | 30 | 3,5 | 232 |
| 0,5 | 49 | 4,0 | 255 |
| 1,0 | 68 | 4,5 | 284 |
| 1,5 | 101 | 5,0 | 302 |
| 2,0 | 138 | 5,5 | 307 |
| 2,5 | 167 | 6,0 | 310 |
| 3,0 | 204 | 6,5 | 317 |
Passo 1
O enunciado fornece a série de pontos
, onde
é o tempo em anos desde 1º jan. 2010 a cada meio ano, e
o número de usuários do Twitter (em milhões). Pede-se ajustar
– uma função exponencial
– uma função exponencial
por mínimos quadrados no plano
,
– uma função logística
– uma função logística
por linearização do tipo
.
Em seguida, devemos traçar os pontos e os dois modelos no mesmo gráfico e discutir qual deles descreve melhor os dados (isto é, qual tem menor erro e melhor comportamento nos extremos).
Em seguida, devemos traçar os pontos e os dois modelos no mesmo gráfico e discutir qual deles descreve melhor os dados (isto é, qual tem menor erro e melhor comportamento nos extremos).
Passo 2
Ajuste exponencial por regressão linear em
:
- Transformamos cada par
em com . - Calculamos
onde
e
são as médias de
e
, e
.
3. Numericamente obtém-se e
.
4. Logo
3. Numericamente obtém-se
4. Logo
Passo 3
Ajuste logístico por linearização:
- Escolhemos um valor de saturação
próximo ao máximo observado (por ex.\ ). - Escrevemos
- Ajustando por regressão linear em
(ou usando apenas dois pontos estratégicos), encontra-se numericamente e . - Assim
Passo 4
Gráfico e discussão:
– Ao traçar os pontos junto com
e
, observa-se que o modelo exponencial cresce indefinidamente e, após cerca de 5 anos, já superestima fortemente os dados, porque a curva exponencial continua subindo sem saturar.
– Em contraste, o modelo logístico possui um platô em torno de milhões e segue os dados até 2016 com erro residual menor, capturando a desaceleração do crescimento.
– Ao traçar os pontos
– Em contraste, o modelo logístico possui um platô em torno de
Conclusão: o ajuste logístico descreve melhor o fenômeno, pois reflete a tendência real de saturação do número de usuários, enquanto o exponencial acaba se tornando pessimista (erro grande) para
maiores.
Resposta
Função exponencial ajustada
Função logística ajustada
e o modelo logístico é mais preciso aos dados por apresentar saturação compatível com a observada.