T16. A tabela fornece o número de usuários ativos do Twitter em todo o mundo, a cada semestre, de 2010 a 2016.
Anos a partir de 1^{\circ} jan. 2010 Usuários do Twitter (milhões) Anos a partir de 1^{\circ} jan. 2010 Usuários do Twitter (milhões)
0 30 3,5 232
0,5 49 4,0 255
1,0 68 4,5 284
1,5 101 5,0 302
2,0 138 5,5 307
2,5 167 6,0 310
3,0 204 6,5 317
Fonte: www.statistica.com/statistics/282087/number-of-monthly-active-twitter-users/. Acesso em: 9 de mar. 2019.
Use uma calculadora ou um computador para ajustar tanto uma função exponencial quanto uma função logística a esses dados. Trace os pontos da tabela e os gráficos das duas funções de ajuste e discuta a precisão dos modelos.

Passo 1

O enunciado fornece a série de pontos (t_i,U_i), onde t_i é o tempo em anos desde 1º jan. 2010 a cada meio ano, e U_i o número de usuários do Twitter (em milhões). Pede-se ajustar
– uma função exponencial
U_e(t)=A\,e^{k\,t}
por mínimos quadrados no plano (t,\ln U),
– uma função logística
U_\ell(t)=\frac{L}{1 + C\,e^{-\,\lambda t}}
por linearização do tipo \ln\bigl(L/U - 1\bigr).
Em seguida, devemos traçar os pontos e os dois modelos no mesmo gráfico e discutir qual deles descreve melhor os dados (isto é, qual tem menor erro e melhor comportamento nos extremos).

Passo 2

Ajuste exponencial por regressão linear em \ln U:
  1. Transformamos cada par (t_i,U_i) em (t_i,y_i) com y_i=\ln U_i.
  2. Calculamos
b = \frac{\sum_i (t_i\,y_i) - n\,\bar t\,\bar y}{\sum_i (t_i^2) - n\,\bar t^{\,2}}, \quad a = \bar y - b\,\bar t,
onde \bar t e \bar y são as médias de t_i e y_i, e n=14.
3. Numericamente obtém-se \displaystyle b\approx0.3396 e \displaystyle a\approx3.9724.
4. Logo
\boxed{ U_e(t)\approx e^{a}\,e^{b\,t} =53{,}2\,e^{0.3396\,t}. }

Passo 3

Ajuste logístico por linearização:
  1. Escolhemos um valor de saturação L próximo ao máximo observado (por ex.\ L=330).
  2. Escrevemos
U_\ell(t)=\frac{L}{1 + C\,e^{-\lambda t}} \;\Longrightarrow\; \frac{L}{U_\ell(t)} - 1 = C\,e^{-\lambda t} \;\Longrightarrow\; \ln\!\Bigl(\tfrac{L}{U_i}-1\Bigr) = \ln C - \lambda\,t_i.
  1. Ajustando por regressão linear em \bigl(t_i,\ln(L/U_i-1)\bigr) (ou usando apenas dois pontos estratégicos), encontra-se numericamente \displaystyle C\approx10 e \displaystyle \lambda\approx0.928.
  2. Assim
\boxed{ U_\ell(t)\approx \frac{330}{1 + 10\,e^{-0.928\,t}}. }

Passo 4

Gráfico e discussão:
– Ao traçar os pontos (t_i,U_i) junto com U_e(t) e U_\ell(t), observa-se que o modelo exponencial cresce indefinidamente e, após cerca de 5 anos, já superestima fortemente os dados, porque a curva exponencial continua subindo sem saturar.
– Em contraste, o modelo logístico possui um platô em torno de L=330 milhões e segue os dados até 2016 com erro residual menor, capturando a desaceleração do crescimento.
Conclusão: o ajuste logístico descreve melhor o fenômeno, pois reflete a tendência real de saturação do número de usuários, enquanto o exponencial acaba se tornando pessimista (erro grande) para t maiores.

Resposta

Função exponencial ajustada
U_e(t) = 53{,}2\,e^{0.3396\,t},
Função logística ajustada
U_\ell(t) = \frac{330}{1 + 10\,e^{-0.928\,t}},
e o modelo logístico é mais preciso aos dados por apresentar saturação compatível com a observada.

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