Uma técnica para criptografar mensagens utiliza a multiplicação de matrizes. Um codificador transforma sua mensagem numa matriz M, com duas linhas, substituindo
cada letra pelo número correspondente à sua ordem no alfabeto, conforme modelo apresentado a seguir.
Letra A B C D E F G H 1 J K L M N
Número 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Letra 0 P Q R S T U V W X Y Z -
Número 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
Por exemplo, a palavra SENHAS ficaria assim:
M=[lllS & E & N H & A & S]=[lll19 & 5 & 14 8 & 1 & 19]
Para codificar, uma matriz 2 times 2, A, é multiplicada pela matriz M, resultando na matriz E=A times M, que é a mensagem codificada a ser enviada.
Ao receber a mensagem, o decodificador precisa reobter M para descobrir a mensagem original. Para isso, utiliza uma matriz 2 times 2, B tal que B times A=I, onde I é a matriz identidade ( 2 times 2 ). Assim, multiplicando B por E, obtém-se B times E=B times A times M=M.
Uma palavra codificada, segundo esse processo, por uma matriz A=[ll2 & 1 1 & 1] resultou na matriz E=[lll47 & 30 & 29 28 & 21 & 22].
Calcule a matriz B, decodifique a mensagem e identifique a palavra original.

Passo 1

O enunciado dá a matriz de codificação
A = 2 & 1 1 & 1
e a mensagem cifrada
E = 47 & 30 & 29 28 & 21 & 22
Para decodificar, precisamos encontrar a matriz B tal que
B,A = I2,
ou seja, a inversa de A, e então calcular
M = B,E
Por fim, usamos a tabela de correspondência número toletra para recuperar a palavra.

Passo 2

Calculamos a inversa de A. O determinante de A é
det(A) = 2cdot1 - 1cdot1 = 1
Como det(A)=1,
A^-1 = 1det(A) 1 & -1 -1 & 2 = 1 & -1 -1 & 2
Portanto,
B = 1 & -1 -1 & 2

Passo 3

Agora multiplicamos B por E:
M = B,E = 1 & -1 -1 & 2 47 & 30 & 29 28 & 21 & 22 = 1cdot47 -1cdot28 & 1cdot30 -1cdot21 & 1cdot29 -1cdot22 -1cdot47 +2cdot28 & -1cdot30 +2cdot21 & -1cdot29 +2cdot22 = 19 & 9 & 7 9 & 12 & 15

Passo 4

Usando a tabela número toletra, temos
,19to S,;9to I,;7to G,;12to L,;15to O
A primeira linha de M é (19,9,7) que vira “SIG” e a segunda é (9,12,15) que vira “ILO”. Juntando, forma a palavra SIGILO.

Resposta

B = 1 & -1 -1 & 2
Palavra original: SIGILO

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