(Tensão) Encontre a fórmula da tensão necessária para produzir num tambor uma freqüência fundamental
desejada.
Passo 1
O enunciado pede a tensão
de uma membrana circular (tambor) de raio
e densidade superficial de massa
para que ela vibre em sua frequência fundamental
. Vamos usar a equação de onda para membrana e as condições de contorno que envolvem funções de Bessel.
Passo 2
A vibração transversal da membrana satisfaz
onde
é a velocidade de propagação das ondas na membrana. Buscamos soluções separáveis em coordenadas polares
.
Passo 3
A separação de variáveis conduz a uma equação radial cuja solução regular é dada por
. A condição de contorno fixa
, o que implica
sendo
o
-ésimo zero de
. O modo fundamental ocorre para
,
, com
. A frequência angular desse modo é
Passo 4
Como a frequência ordinária é
isolamos
:
Resposta
onde
é a densidade de massa superficial da membrana,
seu raio e
é o primeiro zero da função de Bessel
.