(Tensão) Encontre a fórmula da tensão necessária para produzir num tambor uma freqüência fundamental f_{1} desejada.

Passo 1

O enunciado pede a tensão T de uma membrana circular (tambor) de raio a e densidade superficial de massa \mu para que ela vibre em sua frequência fundamental f_{1}. Vamos usar a equação de onda para membrana e as condições de contorno que envolvem funções de Bessel.

Passo 2

A vibração transversal da membrana satisfaz
\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} = c^{2}\,\nabla^{2}u,
onde
c = \sqrt{\frac{T}{\mu}}
é a velocidade de propagação das ondas na membrana. Buscamos soluções separáveis em coordenadas polares (r,\theta).

Passo 3

A separação de variáveis conduz a uma equação radial cuja solução regular é dada por J_{m}(kr). A condição de contorno fixa u(a,\theta)=0, o que implica
k\,a = \alpha_{mn},
sendo \alpha_{mn} o n-ésimo zero de J_{m}. O modo fundamental ocorre para m=0, n=1, com \alpha_{01}\approx2,4048. A frequência angular desse modo é
\omega_{1} = c\,\frac{\alpha_{01}}{a}.

Passo 4

Como a frequência ordinária é
f_{1} = \frac{\omega_{1}}{2\pi} =\frac{1}{2\pi}\,\frac{\alpha_{01}}{a}\,\sqrt{\frac{T}{\mu}},
isolamos T:
\sqrt{\frac{T}{\mu}} = \frac{2\pi\,a\,f_{1}}{\alpha_{01}} \quad\Longrightarrow\quad T = \mu \,\Bigl(\frac{2\pi\,a\,f_{1}}{\alpha_{01}}\Bigr)^{2}.

Resposta

T = \mu \left(\frac{2\pi\,a\,f_{1}}{\alpha_{01}}\right)^{2},
onde \mu é a densidade de massa superficial da membrana, a seu raio e \alpha_{01}\approx2,4048 é o primeiro zero da função de Bessel J_{0}.

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