(UF-GO) A terra retirada na escavação de uma piscina semicircular de 6 m de raio e 1,25 m de profundidade foi amontoada, na forma de um cone circular reto, sobre uma superfície horizontal plana. Admita que a geratriz do cone faça um ângulo de 60^circ com a vertical e que a terra retirada tenha volume 20 % maior do que o volume da piscina. Nessas condições, a altura do cone, em metros, é de:
a) 2,0
b) 2,8
c) 3,0
d) 3,8
e) 4,0

Passo 1

O enunciado nos dá uma piscina com base em forma de semicírculo de raio 6 m e profundidade 1,25 m. A terra retirada, cujo volume é 20% maior que o da piscina, será amontoada formando um cone reto cuja geratriz faz 60^circ com a vertical. Precisamos achar a altura H desse cone.

Passo 2

Calculamos o volume da piscina como a área da base (semicírculo) vezes a profundidade. A área do semicírculo é metade da área do círculo de raio 6:
Área = tfrac12 pi cdot 6^2 = 18pi Á
Multiplicando pela profundidade 1,25, obtemos
Vpiscina = 18pi times 1,25 = 22,5pi

Passo 3

A terra extraída tem volume 20% maior que o da piscina, isto é,
Vterra = 1,2 times Vpiscina = 1,2 times 22,5pi = 27pi

Passo 4

No cone, seja H a altura, r o raio da base e s a geratriz. Como a geratriz faz ângulo de 60^circ com a vertical, temos
cos 60^circ = Hs = tfrac12,
logo s = 2H. E o raio r é a projeção horizontal de s:
r = ssin 60^circ = 2H times raiz32 = Hraiz3

Passo 5

O volume do cone é
Vcone = 13 pi r^2 H = 13 pi (Hraiz3)^2 H = pi H^3

Passo 6

Igualando o volume do cone ao volume da terra:
pi H^3 = 27pi Longrightarrow H^3 = 27 Longrightarrow H = 3

Resposta

3,0 (alternativa c)

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