(UF-GO) A terra retirada na escavação de uma piscina semicircular de 6 m de raio e
de profundidade foi amontoada, na forma de um cone circular reto, sobre uma superfície horizontal plana. Admita que a geratriz do cone faça um ângulo de
com a vertical e que a terra retirada tenha volume
maior do que o volume da piscina. Nessas condições, a altura do cone, em metros, é de:
a) 2,0
b) 2,8
c) 3,0
d) 3,8
e) 4,0
a) 2,0
b) 2,8
c) 3,0
d) 3,8
e) 4,0
Passo 1
O enunciado nos dá uma piscina com base em forma de semicírculo de raio
m e profundidade
m. A terra retirada, cujo volume é
maior que o da piscina, será amontoada formando um cone reto cuja geratriz faz
com a vertical. Precisamos achar a altura
desse cone.
Passo 2
Calculamos o volume da piscina como a área da base (semicírculo) vezes a profundidade. A área do semicírculo é metade da área do círculo de raio
:
Multiplicando pela profundidade
, obtemos
Passo 3
A terra extraída tem volume
maior que o da piscina, isto é,
Passo 4
No cone, seja
a altura,
o raio da base e
a geratriz. Como a geratriz faz ângulo de
com a vertical, temos
logo
. E o raio
é a projeção horizontal de
:
Passo 5
O volume do cone é
Passo 6
Igualando o volume do cone ao volume da terra:
Resposta
3,0 (alternativa c)