Em um tetraedro regular inscreve-se uma esfera e nesta esfera inscreve-se um novo tetraedro regular. Determine a relação entre os volumes dos dois tetraedros.

Passo 1

Estamos com um tetraedro regular de aresta a. Nele inscrevemos uma esfera (que toca cada face), e nessa esfera inscrevemos outro tetraedro regular de aresta b. O objetivo é achar a relação entre os volumes Vrm interno (do tetraedro inscrito) e Vrm externo (do tetraedro dado).

Passo 2

Para o tetraedro externo usamos a fórmula do raio da esfera inscrita (inradius). Sabemos que, em um tetraedro regular de aresta a,
r = araiz612
é o raio da esfera que toca cada face por dentro.

Passo 3

Portanto, a esfera inscrita no tetraedro externo tem raio
r = araiz612

Passo 4

O tetraedro interno é inscrito nessa esfera, ou seja, a esfera é a circunsfera dele. Para um tetraedro regular de aresta b, o raio da circunsfera (circumradius) é
R = braiz64

Passo 5

Igualando o raio da circunsfera do tetraedro interno ao raio da esfera dada,
braiz64 = araiz612 Longrightarrow b = a3

Passo 6

O volume de um tetraedro regular de aresta x é
V = x^3raiz212
Logo,
Vrm internoVrm externo = l(b^3raiz2/12r)l(a^3raiz2/12r) = l(bar)^3 = l(13r)^3 = 127

Resposta

O tetraedro inscrito tem volume tfrac127 do volume do tetraedro original. Portanto,
Vrm interno : Vrm externo = 1 : 27

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