Em um tetraedro regular inscreve-se uma esfera e nesta esfera inscreve-se um novo tetraedro regular. Determine a relação entre os volumes dos dois tetraedros.
Passo 1
Estamos com um tetraedro regular de aresta
. Nele inscrevemos uma esfera (que toca cada face), e nessa esfera inscrevemos outro tetraedro regular de aresta
. O objetivo é achar a relação entre os volumes
(do tetraedro inscrito) e
(do tetraedro dado).
Passo 2
Para o tetraedro externo usamos a fórmula do raio da esfera inscrita (inradius). Sabemos que, em um tetraedro regular de aresta
,
é o raio da esfera que toca cada face por dentro.
Passo 3
Portanto, a esfera inscrita no tetraedro externo tem raio
Passo 4
O tetraedro interno é inscrito nessa esfera, ou seja, a esfera é a circunsfera dele. Para um tetraedro regular de aresta
, o raio da circunsfera (circumradius) é
Passo 5
Igualando o raio da circunsfera do tetraedro interno ao raio da esfera dada,
Passo 6
O volume de um tetraedro regular de aresta
é
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Resposta
O tetraedro inscrito tem volume
do volume do tetraedro original. Portanto,