Achar y^prime e y^prime prime se
x^2-y^2+x-2 y+1=0.

Passo 1

O enunciado dá a curva implicitamente definida por
x^2 - y^2 + x - 2y + 1 = 0,
e pede a primeira e a segunda derivadas y' e y''. Para isso vamos usar diferenciação implícita para obter y' e em seguida a regra do quociente para y''.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados de
x^2 - y^2 + x - 2y + 1 = 0
em relação a x, vem
2x - 2y,y' + 1 - 2y' = 0
Agrupando os termos que contêm y':
2x + 1 - 2(y+1),y' = 0 Longrightarrow y' = 2x + 12(y + 1)

Passo 3

Agora usamos a regra do quociente em
y' = 2x + 12(y + 1)
Seja N = 2x + 1 e D = 2(y + 1). Então N' = 2 e D' = 2y'. Logo
y'' = N'D - N,D'D^2 = 2cdot 2(y+1) - (2x+1),2y'l[2(y+1)r]^2 = 4(y+1) - 2(2x+1)y'4(y+1)^2
Substituindo y' = 2x+12(y+1) no numerador:
4(y+1) - 2(2x+1)2x+12(y+1) = 4(y+1) - (2x+1)^2y+1 = 4(y+1)^2 - (2x+1)^2y+1,
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y'' = 4(y+1)^2 - (2x+1)^2y+1,14(y+1)^2 = 4(y+1)^2 - (2x+1)^24(y+1)^3

Resposta

y' = 2x + 12(y + 1)
y'' = 4(y + 1)^2 - (2x + 1)^24(y + 1)^3

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