4.6.4 Uma transformação de calibre consiste em variar o potencial escalar
e o potencial vetor
de acordo com a relação
A nova função
deve satisfazer a equação de onda homogênea
Mostre o seguinte:
(a) A relação de calibre de Lorentz não se altera.
(b) Os novos potenciais satisfazem as mesmas equações de onda não-homogêneas que os potenciais originais satisfaziam.
© Os campos
e
não se alteram.
A invariância de nossa teoria eletromagnética sob essa transformação é denominada invariância de calibre.
(a) A relação de calibre de Lorentz não se altera.
(b) Os novos potenciais satisfazem as mesmas equações de onda não-homogêneas que os potenciais originais satisfaziam.
© Os campos
Passo 1
O enunciado trata de mostrar que, sob a transformação de calibre
onde a função de calibre
satisfaz a equação de onda homogênea
valem os seguintes resultados:
(a) a condição de calibre de Lorentz
(a) a condição de calibre de Lorentz
permanece inalterada;
(b) as equações de onda não-homogêneas para e
continuam as mesmas;
© os campos e
dados por
(b) as equações de onda não-homogêneas para
© os campos
não se alteram.
Passo 2
Verificamos a condição de Lorentz nos potenciais novos:
Agrupando termos:
Como
e
, o segundo parêntese some. Se
obedeciam Lorentz então
isto é, a condição de calibre de Lorentz não se altera.
Passo 3
Nas equações de onda não-homogêneas originais temos
Para
aplicamos
:
Similarmente para
:
Logo as mesmas equações de onda não-homogêneas são satisfeitas.
Passo 4
Verificamos os campos elétrico e magnético novos:
Expandindo e usando
, obtemos
Para o campo magnético:
porque
. Assim os campos não se alteram.
Resposta
(a) A condição de calibre de Lorentz fica inalterada.
(b) As equações de onda não-homogêneas continuam as mesmas para os novos potenciais.
© Os campos e
permanecem idênticos.
(b) As equações de onda não-homogêneas continuam as mesmas para os novos potenciais.
© Os campos