4.6.4 Uma transformação de calibre consiste em variar o potencial escalar varphi1 e o potencial vetor A1 de acordo com a relação
A nova função chi deve satisfazer a equação de onda homogênea
Mostre o seguinte:
(a) A relação de calibre de Lorentz não se altera.
(b) Os novos potenciais satisfazem as mesmas equações de onda não-homogêneas que os potenciais originais satisfaziam.
© Os campos E e B não se alteram.
A invariância de nossa teoria eletromagnética sob essa transformação é denominada invariância de calibre.

Passo 1

O enunciado trata de mostrar que, sob a transformação de calibre
A2 = A1 + nablachi, varphi2 = varphi1 - partialchipartial t,
onde a função de calibre Boxchiequivnabla^2chi - 1c^2partial^2chipartial t^2=0, satisfaz a equação de onda homogênea
nablacdotA + mu0varepsilon0partialvarphipartial t=0
valem os seguintes resultados:
(a) a condição de calibre de Lorentz
E=-nablavarphi-partialApartial t, B=nablatimesA
permanece inalterada;
(b) as equações de onda não-homogêneas para e continuam as mesmas;
© os campos e dados por
não se alteram.

Passo 2

Verificamos a condição de Lorentz nos potenciais novos:
nablacdotA2 + mu0varepsilon0partialvarphi2partial t =nablacdot(A1+nablachi) +mu0varepsilon0partialpartial tl(varphi1 - partialchipartial tr)
Agrupando termos:
=l(nablacdotA1 + mu0varepsilon0partialvarphi1partial tr) +l(nabla^2chi - mu0varepsilon0partial^2chipartial t^2r)
Como nablacdotA2 + mu0varepsilon0partialvarphi2partial t=0, e , o segundo parêntese some. Se obedeciam Lorentz então
isto é, a condição de calibre de Lorentz não se altera.

Passo 3

Nas equações de onda não-homogêneas originais temos
BoxA1 = -mu0,J, Boxvarphi1 = -rhovarepsilon0
Para BoxA2 = BoxA1 + nabla(Boxchi) =-mu0,J + 0 =-mu0,J aplicamos Boxvarphi2 = Boxvarphi1 - partialpartial t(Boxchi) =-rhovarepsilon0 :
Similarmente para :
Logo as mesmas equações de onda não-homogêneas são satisfeitas.

Passo 4

Verificamos os campos elétrico e magnético novos:
E2 = -nablavarphi2 - partialA2partial t = -nablal(varphi1 - partialchipartial tr) - partialpartial t(A1+nablachi)
Expandindo e usando E2 = -nablavarphi1 - partialA1partial t + nablapartialchipartial t - partial(nablachi)partial t = E1 , obtemos
B2 = nablatimesA2 = nablatimes(A1+nablachi) = nablatimesA1 + nablatimesnablachi = B1,
Para o campo magnético:
porque . Assim os campos não se alteram.

Resposta

(a) A condição de calibre de Lorentz fica inalterada.
(b) As equações de onda não-homogêneas continuam as mesmas para os novos potenciais.
© Os campos e permanecem idênticos.

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