4.6.4 Uma transformação de calibre consiste em variar o potencial escalar \varphi_{1} e o potencial vetor \mathbf{A}_{1} de acordo com a relação
A nova função \chi deve satisfazer a equação de onda homogênea
Mostre o seguinte:
(a) A relação de calibre de Lorentz não se altera.
(b) Os novos potenciais satisfazem as mesmas equações de onda não-homogêneas que os potenciais originais satisfaziam.
(c) Os campos \mathbf{E} e \mathbf{B} não se alteram.
A invariância de nossa teoria eletromagnética sob essa transformação é denominada invariância de calibre.

Passo 1

O enunciado trata de mostrar que, sob a transformação de calibre
\mathbf{A}_2 = \mathbf{A}_1 + \nabla\chi,\qquad \varphi_2 = \varphi_1 - \frac{\partial\chi}{\partial t},
onde a função de calibre \chi satisfaz a equação de onda homogênea
\Box\chi\equiv\nabla^2\chi - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\chi}{\partial t^2}=0,
valem os seguintes resultados:
(a) a condição de calibre de Lorentz
\nabla\cdot\mathbf{A} + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\varphi}{\partial t}=0
permanece inalterada;
(b) as equações de onda não-homogêneas para \mathbf{A} e \varphi continuam as mesmas;
(c) os campos \mathbf{E} e \mathbf{B} dados por
\mathbf{E}=-\nabla\varphi-\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t},\qquad \mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}
não se alteram.

Passo 2

Verificamos a condição de Lorentz nos potenciais novos:
\nabla\cdot\mathbf{A}_2 + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\varphi_2}{\partial t} =\nabla\cdot(\mathbf{A}_1+\nabla\chi) +\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\Bigl(\varphi_1 - \frac{\partial\chi}{\partial t}\Bigr).
Agrupando termos:
=\Bigl(\nabla\cdot\mathbf{A}_1 + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\varphi_1}{\partial t}\Bigr) +\Bigl(\nabla^2\chi - \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\chi}{\partial t^2}\Bigr).
Como \mu_0\varepsilon_0=1/c^2 e \Box\chi=0, o segundo parêntese some. Se \mathbf{A}_1,\varphi_1 obedeciam Lorentz então
\nabla\cdot\mathbf{A}_2 + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\varphi_2}{\partial t}=0,
isto é, a condição de calibre de Lorentz não se altera.

Passo 3

Nas equações de onda não-homogêneas originais temos
\Box\mathbf{A}_1 = -\mu_0\,\mathbf{J},\qquad \Box\varphi_1 = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}.
Para \mathbf{A}_2=\mathbf{A}_1+\nabla\chi aplicamos \Box:
\Box\mathbf{A}_2 = \Box\mathbf{A}_1 + \nabla(\Box\chi) =-\mu_0\,\mathbf{J} + 0 =-\mu_0\,\mathbf{J}.
Similarmente para \varphi_2:
\Box\varphi_2 = \Box\varphi_1 - \frac{\partial}{\partial t}(\Box\chi) =-\frac{\rho}{\varepsilon_0}.
Logo as mesmas equações de onda não-homogêneas são satisfeitas.

Passo 4

Verificamos os campos elétrico e magnético novos:
\mathbf{E}_2 = -\nabla\varphi_2 - \frac{\partial\mathbf{A}_2}{\partial t} = -\nabla\Bigl(\varphi_1 - \frac{\partial\chi}{\partial t}\Bigr) - \frac{\partial}{\partial t}(\mathbf{A}_1+\nabla\chi).
Expandindo e usando \nabla(\partial\chi/\partial t)=\partial(\nabla\chi)/\partial t, obtemos
\mathbf{E}_2 = -\nabla\varphi_1 - \frac{\partial\mathbf{A}_1}{\partial t} + \nabla\frac{\partial\chi}{\partial t} - \frac{\partial(\nabla\chi)}{\partial t} = \mathbf{E}_1.
Para o campo magnético:
\mathbf{B}_2 = \nabla\times\mathbf{A}_2 = \nabla\times(\mathbf{A}_1+\nabla\chi) = \nabla\times\mathbf{A}_1 + \nabla\times\nabla\chi = \mathbf{B}_1,
porque \nabla\times\nabla\chi=0. Assim os campos não se alteram.

Resposta

(a) A condição de calibre de Lorentz fica inalterada.
(b) As equações de onda não-homogêneas continuam as mesmas para os novos potenciais.
(c) Os campos \mathbf{E} e \mathbf{B} permanecem idênticos.

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