Uma transformação linear T: V2 V2 aplica os vectores da base i e j da maneira seguinte:
T(i)=i+j, T(j)=2 i-j
(a) Calcular T(3 i-4 j) e T^3(3 i-4 j) em função de i e j.
(b) Determinar as matrizes de T e T^2.
(c) Resolver a alínea (b) se a base (i, j) é substituida por (e1, e2), onde e1=i-j, e2=3 i+j.

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear T:V2to V2 na base (i,j) por
T(i)=i+j, T(j)=2,i-j
Precisamos calcular
(a) T(3i-4j) e T^3(3i-4j),
(b) as matrizes de T e T^2 na base (i,j),
(c) essas matrizes quando a base é (e1,e2) com e1=i-j, e2=3i+j.

Passo 2

Na base (i,j), a matriz de T é dada pelas colunas das imagens de i e j:
A= 1 & 2 1 & -1

Passo 3

Para v=3i-4j usamos coordenadas 3-4. Então
T(3i-4j) = A 3-4 =1&21&-1 3-4 =-57,
ou seja -5,i+7,j.

Passo 4

Calculamos primeiro
A^2 = Acdot A =3&00&3=3I, A^3 = A^2,A = 3A =3&63&-3
Logo
T^3(3i-4j) = A^3 3-4 =-1521,
isto é -15,i+21,j.

Passo 5

A matriz de T^2 na base (i,j) é
A^2 = 3&00&3

Passo 6

Na nova base (e1,e2) com e1=i-j, e2=3i+j, construímos a matriz de mudança de base P cujas colunas são as coordenadas de e1,e2 em (i,j):
P = 1&3-1&1, det P = 4, P^-1 = tfrac141&-31&1

Passo 7

A matriz de T em (e1,e2) é
A' = P^-1,A,P =tfrac141&-31&1 1&21&-1 1&3-1&1 =tfrac14-7&-11&7

Passo 8

Como A'^2 = P^-1A^2P e A^2=3I, temos
A'^2 = 3,I = 3&00&3

Resposta

(a) T(3i-4j)=-5,i+7,j
\quad
T^3(3i-4j)=-15,i+21,j
(b) 1&21&-1
\quad
3&00&3
(c) tfrac14-7&-11&7
\quad
3&00&3

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