Uma transformação linear
aplica os vectores da base
e
da maneira seguinte:
(a) Calcular
e
em função de
e
.
(b) Determinar as matrizes de
e
.
(c) Resolver a alínea (b) se a base
é substituida por
, onde
.
(b) Determinar as matrizes de
(c) Resolver a alínea (b) se a base
Passo 1
O enunciado define uma transformação linear
na base
por
Precisamos calcular
(a) e
,
(b) as matrizes de e
na base
,
(c) essas matrizes quando a base é com
,
.
(a)
(b) as matrizes de
(c) essas matrizes quando a base é
Passo 2
Na base
, a matriz de
é dada pelas colunas das imagens de
e
:
Passo 3
Para
v=3i-4j usamos coordenadas
3-4 . Então
ou seja
-5,i+7,j .
Passo 4
Calculamos primeiro
Logo
isto é
-15,i+21,j .
Passo 5
A matriz de
T^2 na base
(i,j) é
Passo 6
Na nova base
(e1,e2) com
e1=i-j ,
e2=3i+j , construímos a matriz de mudança de base
P cujas colunas são as coordenadas de
e1,e2 em
(i,j) :
Passo 7
A matriz de
T em
(e1,e2) é
Passo 8
Como
A'^2 = P^-1A^2P e
A^2=3I , temos
Resposta
(a)
T(3i-4j)=-5,i+7,j
\quad
T^3(3i-4j)=-15,i+21,j
\quad
(b)
1&21&-1
\quad
3&00&3
\quad
(c)
tfrac14-7&-11&7
\quad
3&00&3
\quad