As três bissetrizes de um triângulo A B C se encontram num ponto O. Determine as medidas dos ângulos AÔB, AÔC e BÔC em função dos ângulos Â, B e C do triângulo.

Passo 1

Resumindo, temos o triângulo ABC com ângulos internos hat A, hat B e hat C. As bissetrizes internas dos ângulos em A, B e C concorrem em O, o incentro. Queremos achar em função de hat A,hat B,hat C os ângulos ang<= AÔBÔ, ang<= AÔCÔ e ang<= BÔCÔ. Para isso usaremos que cada bissetriz divide o ângulo interno ao meio e a soma dos ângulos de qualquer triângulo vale 180^circ.

Passo 2

Considere o triângulo AOB. Nele temos
ang<= BAO = tfrachat A2 e ang<= ABO = tfrachat B2.
Pela soma dos ângulos em AOB:
ang<= AOB = 180^circ - l(tfrachat A2 + tfrachat B2r) = 180^circ - tfrachat A + hat B2 = 180^circ - tfrac180^circ - hat C2 = 90^circ + tfrachat C2

Passo 3

No triângulo BOC temos
ang<= CBO = tfrachat B2 e ang<= BCO = tfrachat C2.
Logo
ang<= BOC = 180^circ - l(tfrachat B2 + tfrachat C2r) = 90^circ + tfrachat A2

Passo 4

No triângulo COA temos
ang<= ACO = tfrachat C2 e ang<= OCA = tfrachat A2.
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ang<= COA = 180^circ - l(tfrachat C2 + tfrachat A2r) = 90^circ + tfrachat B2

Passo 5

Reconhecendo que
ang<= AÔB=ang<= AOBÔ,
ang<= BÔC=ang<= BOCÔ e
ang<= AÔC=ang<= COAÔ,
temos as fórmulas pedidas.

Resposta

ang<= AÔB = 90^circ + hat C2,Ô
ang<= AÔC = 90^circ + hat B2,Ô
ang<= BÔC = 90^circ + hat A2Ô

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