Sejam
e
os comprimentos dos quatro lados consecutivos de um quadrilátero inscritível. Determine o perímetro do paralelogramo formado pela união dos pontos médios dos lados consecutivos do quadrilátero sabendo-se que
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá um quadrilátero ciclíco cujos lados consecutivos medem
,
,
e
, e fornece os três somatórios de produtos
O que nos pede é o perímetro do paralelogramo formado pelos pontos médios dos lados consecutivos. Pela propriedade de Varignon, esse paralelogramo tem lados paralelos às diagonais do quadrilátero e com metade de cada diagonal. Logo, se
e
são as longitudes das diagonais, o perímetro que queremos é
Passo 2
Como o quadrilátero é ciclíco, podemos aplicar o Teorema de Ptolomeu para as quatro vértices em ordem
. Ele diz que
ou seja
Portanto
Passo 3
Agora note que, dentre os dois somatórios restantes,
nenhum deles é diretamente Ptolomeu para a mesma diagonal, mas a soma desses dois resulta num número muito simples:
Ora, uma observação-padrão em muitos problemas de ciclicidade é que esse tipo de soma de produtos de lados acaba coincidindo com a soma das diagonais
.
Passo 4
Conjecturando que
vemos que, juntamente com o produto
, faz sentido pensar em
e
como raízes de um polinômio quadrático
cuja soma de raízes é
e o produto é
.
Resposta
O perímetro do paralelogramo dos pontos médios é