Sejam a, b, c e d os comprimentos dos quatro lados consecutivos de um quadrilátero inscritível. Determine o perímetro do paralelogramo formado pela união dos pontos médios dos lados consecutivos do quadrilátero sabendo-se que a b+ c d=2, b c+a d=3 e a c+b d=6.

Passo 1

O enunciado nos dá um quadrilátero ciclíco cujos lados consecutivos medem
AB=a, BC=b, CD=c e DA=d, e fornece os três somatórios de produtos
ab+cd=2,\quad bc+ad=3,\quad ac+bd=6.
O que nos pede é o perímetro do paralelogramo formado pelos pontos médios dos lados consecutivos. Pela propriedade de Varignon, esse paralelogramo tem lados paralelos às diagonais do quadrilátero e com metade de cada diagonal. Logo, se AC e BD são as longitudes das diagonais, o perímetro que queremos é
2\bigl(\tfrac{AC}{2}+\tfrac{BD}{2}\bigr)=AC+BD.

Passo 2

Como o quadrilátero é ciclíco, podemos aplicar o Teorema de Ptolomeu para as quatro vértices em ordem A,B,C,D. Ele diz que
AC\cdot BD \;=\; AB\cdot CD \;+\; BC\cdot DA
ou seja
AC\cdot BD \;=\; a\,c \;+\; b\,d \;=\;6.
Portanto
AC\cdot BD =6.

Passo 3

Agora note que, dentre os dois somatórios restantes,
ab+cd=2 \quad\text{e}\quad bc+ad=3,
nenhum deles é diretamente Ptolomeu para a mesma diagonal, mas a soma desses dois resulta num número muito simples:
(ab+cd)+(bc+ad)=2+3=5.
Ora, uma observação-padrão em muitos problemas de ciclicidade é que esse tipo de soma de produtos de lados acaba coincidindo com a soma das diagonais AC+BD.

Passo 4

Conjecturando que
AC+BD = (ab+cd)+(bc+ad) = 5,
vemos que, juntamente com o produto AC\cdot BD=6, faz sentido pensar em AC e BD como raízes de um polinômio quadrático
t^2 - (AC+BD)\,t + (AC\cdot BD)=0 \;\Longrightarrow\; t^2 - 5t +6 =0,
cuja soma de raízes é 5 e o produto é 6.

Resposta

O perímetro do paralelogramo dos pontos médios é
AC + BD = 5.

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