Um ângulo externo do vértice de um triângulo isósceles mede 150^circ. Determine:
a) os ângulos do triângulo;
b) o ângulo obtuso formado pelas bissetrizes dos ângulos da base do triângulo;
c) os ângulos formados pela bissetriz de um dos ângulos da base e pela bissetriz do ângulo do vértice.

Passo 1

O enunciado descreve um triângulo isósceles em que o ângulo externo no vértice mede 150^circ. Para resolver precisamos de duas ideias principais:
  1. A propriedade do ângulo externo de um triângulo (é suplementar ao ângulo interno do mesmo vértice) e a soma dos ângulos internos igual a 180^circ.
  2. No incentro do triângulo (interseção das três bissetrizes), o ângulo formado por duas bissetrizes quaisquer mede
90^circ + tfrac12l(terceiro ângulor) â

Passo 2

Usamos a propriedade do ângulo externo: o ângulo interno do vértice é
widehat C = 180^circ - 150^circ = 30^circ
Como a soma interna é
widehat A + widehat B + widehat C = 180^circ
e o triângulo é isósceles com widehat A = widehat B, segue
2widehat A + 30^circ = 180^circ Longrightarrow 2widehat A = 150^circ Longrightarrow widehat A = 75^circ

Passo 3

Para as bissetrizes dos ângulos da base widehat A e widehat B, o ângulo no incentro é
ang<= AIB = 90^circ + tfrac12,widehat C = 90^circ + tfrac12cdot30^circ = 90^circ + 15^circ = 105^circ

Passo 4

Para a bissetriz de um ângulo da base widehat A=75^circ e a bissetriz do vértice widehat C=30^circ, o ângulo no incentro é
ang<= AIC = 90^circ + tfrac12,widehat B = 90^circ + tfrac12cdot75^circ = 90^circ + 37,5^circ = 127,5^circ
O outro ângulo formado pelas mesmas bissetrizes é o suplemento:
180^circ - 127,5^circ = 52,5^circ

Resposta

(a) widehat A = widehat B = 75^circ, widehat C = 30^circ
(b) 105^circ
(c) 127,5^circ e 52,5^circ

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