Num triângulo , o ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos e , oposto a , é o quíntuplo do ângulo A. Determine a medida do ângulo A.
Passo 1
O enunciado diz que, em triang<= ABC, as bissetrizes internas de hat B e de hat C se encontram no incentro I e formam o ângulo oposto a BC. Esse é justamente o ângulo ang<= BIC, que segundo o enunciado vale cinco vezes o ângulo hat A.
Passo 2
Usamos a propriedade bem-conhecida do incentro:
ang<= BIC ;=; 90^circ ;+;hat A2
Passo 3
Como ang<= BIC vale cinco vezes hat A, montamos a equação
90^circ + hat A2 ;=; 5,hat A
Passo 4
Multiplicando tudo por 2 para eliminar a fração:
2cdot90^circ + hat A = 10,hat A Longrightarrow 180^circ = 9,hat A Longrightarrow hat A = 20^circ
Resposta
hat A = 20^circ.
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 9: Geometria Plana - 9ª Edição - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 171