Dois lados consecutivos de um paralelogramo têm por medidas a e b e uma das diagonais tem por medida c. Determine a medida da outra diagonal.

Passo 1

O enunciado diz que num paralelogramo os lados consecutivos medem a e b e que uma das diagonais mede c. Queremos achar a medida da outra diagonal. O conteúdo principal aqui é a lei dos paralelogramos, que relaciona os vetores dos lados com as diagonais.

Passo 2

Represente os lados do paralelogramo por vetores vec u e vec v tais que |vec u| = a e |vec v| = b. As duas diagonais correspondem aos vetores
vec d1 = vec u + vec v e vec d2 = vec u - vec v

Passo 3

Pelo enunciado, uma das diagonais mede c. Sem perda de generalidade, seja
c = |vec d1| = |vec u + vec v|
Então
c^2 = |vec u + vec v|^2 = |vec u|^2 + |vec v|^2 + 2,vec u!cdot!vec v = a^2 + b^2 + 2,abcostheta,
onde theta é o ângulo entre vec u e vec v.

Passo 4

Isolando costheta obtemos
costheta = c^2 - a^2 - b^22,ab

Passo 5

A outra diagonal tem comprimento
|vec d2| = |vec u - vec v| Longrightarrow |vec d2|^2 = |vec u|^2 + |vec v|^2 - 2,vec u!cdot!vec v = a^2 + b^2 - 2,abcostheta
Substituindo costheta, vem
|vec d2|^2 = a^2 + b^2 - 2,abcdotc^2 - a^2 - b^22,ab = a^2 + b^2 - (c^2 - a^2 - b^2) = 2(a^2 + b^2) - c^2

Passo 6

Portanto, a medida da outra diagonal é
|vec d2| = raiz2l(a^2 + b^2r) - c^2

Resposta

A outra diagonal mede
raiz2l(a^2 + b^2r) - c^2

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