Se, em um triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados menos o produto desses dois lados, calcule o ângulo interno que os mesmos dois lados formam.

Passo 1

O enunciado diz que, num triângulo, o quadrado de um lado (digamos c) satisfaz
c^2 = a^2 + b^2 - a b,
e pede o valor do ângulo interno gamma formado pelos lados a e b.

Passo 2

Para relacionar c^2 com o ângulo gamma entre a e b, usamos a lei dos cossenos:
c^2 = a^2 + b^2 - 2,a,bcos(gamma)

Passo 3

Como o enunciado dá também
c^2 = a^2 + b^2 - a b,
igualamos as duas expressões de c^2:
a^2 + b^2 - a b = a^2 + b^2 - 2,a,bcos(gamma)

Passo 4

Cancelando a^2 + b^2 de ambos os lados, sobra
-,a b = -,2,a,bcos(gamma) Longrightarrow a b = 2,a,bcos(gamma)
Assumindo a bneq0, dividimos por a b:
1 = 2cos(gamma) Longrightarrow cos(gamma)=tfrac12

Passo 5

O único ângulo num triângulo cujo cosseno vale tfrac12 é
gamma = 60^circ

Resposta

60^circ

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