Duas locadoras de automóveis oferecem planos diferentes para a diária de um veículo econômico. A locadora Saturno cobra uma taxa fixa de R$30,00 , além de R$ 0,40 por quilômetro rodado. Já a locadora Mercúrio tem um plano mais elaborado: ela cobra uma taxa fixa de R$90,00 com uma franquia de 200 km , ou seja, o cliente pode percorrer 200 km sem custos adicionais. Entretanto, para cada km rodado além dos 200 km incluídos na franquia, o cliente deve pagar0,60$.
a) Determine a função que descreve o custo diário de locação (em reais) de um automóvel na locadora Saturno em relação à distância percorrida (em km ).
b) Faça o mesmo para a locadora Mercúrio.
c) Represente em um mesmo plano cartesiano as funções que você obteve nos itens (a) e (b).
d) Determine para quais intervalos cada locadora tem o plano mais barato.
e) Supondo que a locadora Saturno vá manter inalterada sua taxa fixa, indique qual deve ser seu novo custo por km rodado para que ela, lucrando o máximo possível, tenha o plano mais vantajoso para clientes que rodam quaisquer distâncias.
Passo 1
O enunciado pede para modelar o custo diário de duas locadoras em função da distância (em km) rodada. Vamos usar conceitos de funções lineares e por partes, esboçar seus gráficos, comparar valores por meio de desigualdades e, por fim, otimizar a tarifa por km da Saturno.
Passo 2
Para a locadora Saturno há uma taxa fixa de R$ mais R$ por km. Isso é uma função afim do tipo . Logo,
Passo 3
Para a locadora Mercúrio há taxa fixa de R$ com franquia de km e R$ por km extra. É função por partes:
Passo 4
No mesmo plano cartesiano:
— CS(d)=30+0,4d é uma reta de inclinação 0,4 e intercepto em 30.
— CM(d) é constante igual a 90 até d=200; depois segue reta de inclinação 0,6 que parte de (200,90).
Passo 5
Comparando custos: 1. Para d<=200 comparamos CS(d)=30+0,4d e CM(d)=90.
30+0,4d<90;Long<=ftrightarrow;d<150
Logo, se 0<= d<150 a Saturno é mais barata; para 150<d<=200 a Mercúrio vence.
2. Para d>200 comparamos
30+0,4de 90+0,6(d-200)= -30+0,6d
30+0,4d< -30+0,6d;Long<=ftrightarrow;d>300
Portanto, em 200<d<300 a Mercúrio é mais barata e para d>300 a Saturno volta a ser mais barata.
Passo 6
Queremos ajustar a tarifa por km p da Saturno (mantendo o fixo de 30) para que 30+pd<= CM(d) em toda d>=0.
2. Em d>200:
comparamos com -30+0,6d. A condição mais restritiva ocorre em d=200 se p<=0,6. Dá de novo p<=0,3.
Para maximizar p e ainda ser sempre mais barato, escolhemos
p=0,30 R$ por km
Resposta
a) CS(d) = 30 + 0,4 d
b) CM(d) = 90, & d <= 200, 90 + 0,6 (d - 200), & d > 200
c) No mesmo plano: reta de inclinação 0,4 saindo de (0,30) para Saturno; função constante igual a 90 até d = 200 e depois reta de inclinação 0,6 para Mercúrio.
d) Saturno é mais barata em 0 <= d < 150 e d > 300; Mercúrio é mais barata em 150 < d < 300.
e) A nova tarifa por km deve ser 0,30 R$/km para que Saturno seja sempre a opção mais vantajosa.
Cálculo - Francisco Magalhães Gomes - Pré-Cálculo: Operações, Equações, Funções e Trigonometria - 1ª Edição - Capítulo 3.3.7 Exercícios - Ex. 30