(U.F. Uberlândia-MG) Seja f uma função real de variável real tal que f(x+y)=f(x)+f(y) para todos x e y reais. Se a, b, c, d e e formam, nessa ordem, uma P.A. de razão r, então f(a), f(b), f(c), f(d), f(e) formam, nessa ordem:
a) Uma P.G. de razão f(r).
b) Uma P.G. de razão r.
c) Uma P.A. de razão f(a).
d) Uma P.G. de razão f(a).
e) Uma P.A. de razão f®.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma função f:RtoR que satisfaz
f(x+y)=f(x)+f(y)
para todos os reais x,y. Além disso, a,b,c,d,e formam uma P.A. de razão r. O conteúdo aqui é usar a propriedade de aditividade de f e reconhecer o tipo de sequência resultante.

Passo 2

Como a,b,c,d,e estão em P.A. de razão r, podemos escrever
b = a + r, c = a + 2r, d = a + 3r, e = a + 4r

Passo 3

Pela aditividade de f, para cada inteiro k>=0 vale
fl(a + krr) = f(a) + f(kr) = f(a) + k,f(r),
pois também se mostra por indução que f(kr)=k,f(r).

Passo 4

Logo
f(a),;f(b)=f(a)+f(r),;f(c)=f(a)+2f(r),;f(d)=f(a)+3f(r),;f(e)=f(a)+4f(r)
é uma P.A. de razão f(r).

Resposta

e) Uma P.A. de razão f(r).

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