(UECE-2000) As funções f(x)=1x e g(x)=1x-1 (onde x in R, x neq 0 e x neq 1 ) são tais que:
a) (f circ g)(x)=(g circ f)(x)
b) (f o g)(x) é sempre positivo
c) (f circ g)(x) cdot(g circ f)(x)=-x

Passo 1

O enunciado define as funções
f(x)=1x, g(x)=1x-1,
com domínio xinRsetminus0,1, e pede para verificar quais das afirmações abaixo são verdadeiras:
a) (fcirc g)(x)=(gcirc f)(x)
b) (fcirc g)(x) é sempre positivo
c) (fcirc g)(x)cdot(gcirc f)(x)=-x

Passo 2

Calcular (fcirc g)(x)=fl(g(x)r).
(fcirc g)(x)=f!l(1x-1r) =11x-1 =x-1

Passo 3

Calcular (gcirc f)(x)=gl(f(x)r).
(gcirc f)(x)=g!l(1xr) =11x-1 =11-xx =x1-x

Passo 4

Verificar a) (fcirc g)(x)=(gcirc f)(x)?
Temos (fcirc g)(x)=x-1 e (gcirc f)(x)=dfracx1-x. Como
x-1 neq x1-x forall xneq0,1,
a) é falsa.

Passo 5

Verificar b) (fcirc g)(x) é sempre positivo.
Como (fcirc g)(x)=x-1, isso é positivo apenas se x>1 e é negativo se x<1. Logo, não é sempre positivo, e b) é falsa.

Passo 6

Verificar c) (fcirc g)(x)cdot(gcirc f)(x)=-x.
(fcirc g)(x),(gcirc f)(x) =(x-1),x1-x
(fcirc g)(x),(gcirc f)(x) =(x-1),x-(x-1) =-x
Portanto, c) é verdadeira.

Resposta

c) (fcirc g)(x)cdot(gcirc f)(x)=-x

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