(PUC/RS-99) O lucro de uma empresa imobiliária, em um certo período de tempo, é dado em milhões de reais por L(x)=5 (x-4) (8- x ), onde x representa o número de lotes vendidos. Para que a empresa tenha lucro máximo, o número de lotes vendidos nesse período deve ser igual a
a) 2
b) 3
c) 6
d) 7

Passo 1

O enunciado dá a função lucro em milhões de reais
L(x)=5,(x-4),(8-x),
onde x é o número de lotes vendidos. O conteúdo é otimização de função quadrática: para achar o valor de x que maximiza L(x), vamos usar a derivada e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro expandimos L(x) para a forma padrão de uma parábola:
L(x)=5l(xcdot8 - x^2 -4cdot8 +4xr) =5l(-x^2+12x-32r) =-5x^2+60x-160

Passo 3

Calculamos a derivada primeira e igualamos a zero para encontrar o ponto crítico:
L'(x)=-10x+60=0 Longrightarrow x=6

Passo 4

Verificamos que é ponto de máximo observando a segunda derivada:
L''(x)=-10<0,
logo a concavidade é para baixo e x=6 realmente maximiza L(x).

Resposta

A empresa terá lucro máximo vendendo 6 lotes.

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