(UECE-2003) O conjunto x in R mid x (x+1)^2 >= x } é igual a:
a) R
b) R--1
c) [-2,+infty)

Passo 1

O enunciado pede o conjunto dos xinR que satisfazem
;x,(x+1)^2;>=;x
Este é um problema de inequação polinomial; vamos reduzi-la a uma forma fatorada e, então, usar um estudo de sinais para encontrar a solução.

Passo 2

Levantamos tudo para o mesmo lado da desigualdade:
x,(x+1)^2 - x ;>=; 0
Em seguida, colocamos x em evidência:

Passo 3

x,(x+1)^2 - x = xl((x+1)^2 - 1r) = xl(x^2 + 2x +1 -1r) = x,(x^2 + 2x) = x^2,(x+2)
Logo a inequação vira
x^2,(x+2);>=;0

Passo 4

Para analisar x^2(x+2)>=0, note que x^2>=0 para todo x, sendo zero apenas em x=0.
Portanto, o sinal de x^2(x+2) é o mesmo de (x+2).
A condição
(x+2);>=;0
é equivalente a
x;>=;-2

Passo 5

Concluímos que a inequação é satisfeita exatamente quando
x;>=;-2
Em notação de conjunto, isso é o intervalo [-2,+infty).

Resposta

c) [-2,+infty)

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