(FEI-2000) A função f(x)=x^2+b x+c, definida para qualquer valor real x , é nula para x =r ou x=3 r. Determine r sabendo-se que o valor mínimo de f(x) é -9 .
a) r=0 ou r=1 ou r=-1
b) r=3 ou r=-3
c) r=2
d) r=4 ou r=-4

Passo 1

O enunciado dá a função ,f(x)=x^2+bx+c monômica, cujas raízes são x=r e x=3r, e informa que o valor mínimo de f é -9. Vamos usar Viète para achar b e c em função de r e depois determinar o mínimo pelo vértice da parábola.

Passo 2

Como as raízes são r e 3r, podemos escrever
f(x) = (x - r)(x - 3r) = x^2 - (r + 3r)x + (rcdot 3r) = x^2 - 4r,x + 3r^2
Portanto
b = -4r, c = 3r^2

Passo 3

O vértice da parábola f(x) ocorre em
xv = -b2a = --4r2cdot1 = 2r
O valor mínimo é então
f(2r) = (2r)^2 - 4r,(2r) + 3r^2 = 4r^2 - 8r^2 + 3r^2 = -r^2

Passo 4

Igualando ao mínimo dado,
-r^2 = -9 Longrightarrow r^2 = 9 Longrightarrow r = pm 3

Resposta

b) r = 3 ou r = -3

Exercícios de Livros Relacionados