(PUC/SP-2003) Ao levantar dados para a realização de um evento, a comissão organizadora observou que, se cada pessoa pagasse R$6,00 por sua inscrição, poderia contar com 460 participantes, arrecadando um total de R$ 2 760,00 . Entretanto, também estimou que, a cada aumento de R$ 1,50 no preço de inscrição, receberia 10 participantes a menos. Considerando tais estimativas, para que a arrecadação seja a maior possível, o preço unitário da inscrição em tal evento deve ser
a) 15,00$
b) 24,50$
c) 32,75$
d) 37,50$

Passo 1

O enunciado informa que com preço de inscrição de ,6,00 reais há 460 participantes, arrecadando ,2,760,00 reais, e que a cada acréscimo de ,1,50 real no preço perdem-se 10 participantes. Vamos modelar a arrecadação como uma função quadrática e usar otimização de parábola para encontrar o preço que maximiza a receita.

Passo 2

Defina x como o número de aumentos de ,1,50 real.
Então o preço por pessoa é
p(x)=6 + 1,5,x
e o número de participantes é
n(x)=460 - 10,x

Passo 3

A arrecadação R em função de x é o produto
R(x)=p(x),n(x)=(6 + 1,5x)(460 - 10x)
Multiplicando, obtemos
R(x)=-15,x^2 + 630,x + 2760

Passo 4

Para maximizar a parábola R(x)=ax^2+bx+c com a=-15 e b=630, usamos o vértice
x^*=-b2a=-6302cdot(-15)=21

Passo 5

Substituindo x^*=21 no preço, temos
p(21)=6 + 1,5cdot21 =6+31,5 =37,50

Resposta

R$ 37,50.

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