(UECE-2003) Considere as funções reais f(x)=x+a e g(x)=x^2+x+b, com a b neq 0. O valor de x para o qual se tem f(g(x)=g(f(x)) é:
a) a+b2
b) 2 ab
c) b2

Passo 1

O enunciado dá duas funções
f(x)=x+a
e
g(x)=x^2+x+b
com aneq0 e bneq0, e pede o valor de x tal que
fl(g(x)r)=gl(f(x)r)
Para resolver, vamos usar definição de composição de funções e depois igualar os resultados.

Passo 2

Calculemos primeiro
fl(g(x)r) =g(x)+a =l(x^2+x+br)+a =x^2+x+(b+a)

Passo 3

Agora calculemos
gl(f(x)r) =l(f(x)r)^2+f(x)+b =(x+a)^2+(x+a)+b =x^2+2ax+a^2 +x+a +b =x^2+(2a+1)x+(a^2+a+b)

Passo 4

Igualando as duas composições, temos
x^2+x+(b+a) = x^2+(2a+1)x+(a^2+a+b)
Cancele x^2 e b dos dois lados e organize termos:
x+(a) =(2a+1)x+(a^2+a) Longrightarrow x - (2a+1)x +a - (a^2+a)=0
Longrightarrow -2a,x -a^2=0 Longrightarrow 2a,x +a^2=0

Passo 5

Como aneq0, dividimos por 2a e obtemos
x=-a^22a=-a2

Resposta

x=-a2
Observe que esse valor não coincide com nenhuma das alternativas dadas.

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