(UECE-2007) Para valores de a diferentes de -1,0 c l, a expressão:
\left(\frac{1}{a^{2}}-1\right)\left(\frac{1-a}{a+1}-\frac{1+a}{1-a}\right)\left(1-\frac{a}{4}\right) é igual a
a) 1-4 a
b) 1-4 a^{-1}
c) a-1
d) a^{-1}-1

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\displaystyle \Bigl(\frac{1}{a^{2}}-1\Bigr)\Bigl(\frac{1-a}{a+1}-\frac{1+a}{1-a}\Bigr)\Bigl(1-\frac{a}{4}\Bigr)
para a\neq -1,0,1. Vamos usar manipulação de frações algébricas: fatorar, somar frações e cancelar termos comuns.

Passo 2

Simplificamos o primeiro fator:
\frac{1}{a^2}-1 = \frac{1 - a^2}{a^2} = -\,\frac{(a-1)(a+1)}{a^2}.

Passo 3

Agora o segundo fator:
\frac{1 - a}{a+1} - \frac{1 + a}{1 - a} = \frac{(1 - a)^2 - (1 + a)^2}{(a+1)(1 - a)} = \frac{-4a}{-(a+1)(a-1)} = \frac{4a}{a^2 - 1}.

Passo 4

Multiplicamos os dois primeiros resultados:
-\,\frac{(a-1)(a+1)}{a^2}\;\cdot\;\frac{4a}{a^2-1} = -\,\frac{4a}{a^2} = -\,\frac{4}{a}.

Passo 5

Por fim, multiplicamos pelo terceiro fator:
-\,\frac{4}{a}\;\Bigl(1 - \frac{a}{4}\Bigr) = -\,\frac{4}{a}\;\cdot\;\frac{4 - a}{4} = -\,\frac{4 - a}{a} = \frac{a - 4}{a} = 1 - \frac{4}{a}.

Resposta

b) \,1 - 4a^{-1}

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