(UFAL-03) Determine os termos racionais no desenvolvimento de
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os termos racionais no desenvolvimento de
Aqui vamos usar o Teorema Binomial para escrever o termo geral e depois determinar para quais índices esse termo é racional.
Passo 2
Pelo Teorema Binomial, o termo de ordem
(contando de
até
) é
Reescrevendo as potências de forma a identificar as raízes:
Passo 3
Para que
seja racional, precisamos que os expoentes
e
sejam inteiros. Portanto exigimos simultaneamente:
-
seja múltiplo de , ou seja
-
seja par, para que seja inteiro.
Passo 4
Resolvendo as duas condições juntas:
-
dá , - mas só permitimos
par,
logo restam
Passo 5
Calculamos cada termo:
Para
:
Para
:
Resposta
Os termos racionais no desenvolvimento são
e
.