(UFAL-03) Determine os termos racionais no desenvolvimento de (\sqrt[3]{2}+\sqrt{3})^{10}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os termos racionais no desenvolvimento de
(\sqrt[3]{2}+\sqrt{3})^{10}.
Aqui vamos usar o Teorema Binomial para escrever o termo geral e depois determinar para quais índices esse termo é racional.

Passo 2

Pelo Teorema Binomial, o termo de ordem k (contando de k=0 até k=10) é
T_k \;=\;\binom{10}{k}\,(\sqrt[3]{2})^{\,10-k}\,(\sqrt{3})^{\,k}.
Reescrevendo as potências de forma a identificar as raízes:
(\sqrt[3]{2})^{\,10-k} = 2^{\frac{10-k}{3}} \quad\text{e}\quad (\sqrt{3})^{\,k} = 3^{\frac{k}{2}}.

Passo 3

Para que
T_k = \binom{10}{k}\,2^{\frac{10-k}{3}}\,3^{\frac{k}{2}}
seja racional, precisamos que os expoentes \tfrac{10-k}{3} e \tfrac{k}{2} sejam inteiros. Portanto exigimos simultaneamente:
  1. \displaystyle 10-k seja múltiplo de 3, ou seja
10-k\equiv 0\pmod{3}\;\Longrightarrow\;k\equiv 10\equiv1\pmod{3}.
  1. k seja par, para que \tfrac{k}{2} seja inteiro.

Passo 4

Resolvendo as duas condições juntas:
  • k\equiv1\pmod{3} k\in\{1,4,7,10\},
  • mas só permitimos k par,
    logo restam
k=4\quad\text{ou}\quad k=10.

Passo 5

Calculamos cada termo:
Para k=4:
T_4 = \binom{10}{4}\,2^{\frac{10-4}{3}}\,3^{\frac{4}{2}} =210\;\cdot\;2^{2}\;\cdot\;3^{2} =210\;\cdot\;4\;\cdot\;9 =7560.
Para k=10:
T_{10} = \binom{10}{10}\,2^{\frac{10-10}{3}}\,3^{\frac{10}{2}} =1\;\cdot\;2^{0}\;\cdot\;3^{5} =3^{5} =243.

Resposta

Os termos racionais no desenvolvimento são 7560 e 243.

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