(Olimpiada AlME-00) Os números inteiros positivos m en são primos entre si. Os coeficientes de x^{2} e x^{3} na expansão de (m x+n)^{2000} são iguais. Determine o valor de m+n.

Solução:

O termo geral de (m x+n)^{20011} é:
T_{p+1}=\binom{2000}{p}(m x)^{2000-p}(n)^{p}=\binom{2000}{p} m^{2000-p_{n} p} x^{2000-p}
Deste modo, temos que: T_{1999}=\binom{2000}{1998} m^{2} n^{1998} x^{2} e T_{1998}=\binom{2000}{1997} m^{3} n^{1997} x^{3}.
Assim: \binom{2000}{1998} m^{2} n^{1998}=\binom{2000}{1997} m^{3} n^{1997} \Rightarrow
\frac{(2000)(1999)}{2} \mathrm{n}=\frac{(2000)(1999)(1998)}{2.3} \mathrm{~m} \Rightarrow \mathrm{n}=666 . \mathrm{m}
Como mdc (m, n)=1 temos que n=1 e m=666 \Rightarrow m+n=667.

Passo 1

O enunciado diz que m e n são inteiros positivos e \gcd(m,n)=1. Na expansão de (m x + n)^{2000}, os coeficientes de x^2 e de x^3 são iguais. Vamos usar o Teorema Binomial para identificar esses coeficientes e impor a igualdade.

Passo 2

Pela expansão binomial, o termo geral é
T_{p+1} \;=\;\binom{2000}{p}\,(m x)^{2000-p}\,n^p \;=\;\binom{2000}{p}\,m^{2000-p}\,n^p\;x^{2000-p}.

Passo 3

Para o termo em x^2 precisamos de 2000-p=2, ou seja p=1998. Logo
\text{coeficiente de }x^2 =\binom{2000}{1998}\,m^2\,n^{1998} =\binom{2000}{2}\,m^2\,n^{1998}.
Para o termo em x^3 precisamos de 2000-p=3, ou seja p=1997. Logo
\text{coeficiente de }x^3 =\binom{2000}{1997}\,m^3\,n^{1997} =\binom{2000}{3}\,m^3\,n^{1997}.

Passo 4

Impondo igualdade dos coeficientes,
\binom{2000}{2}\,m^2\,n^{1998} \;=\;\binom{2000}{3}\,m^3\,n^{1997}.
Como
\binom{2000}{2}=\frac{2000\cdot1999}{2}, \quad \binom{2000}{3}=\frac{2000\cdot1999\cdot1998}{6},
dividindo ambos os lados por \binom{2000}{2}\,m^2\,n^{1997} vem
n \;=\;\frac{\binom{2000}{3}}{\binom{2000}{2}}\,m =\;\frac{2000\cdot1999\cdot1998/6}{2000\cdot1999/2}\,m =\frac{1998}{3}\,m =666\,m.

Passo 5

Temos n=666\,m e \gcd(m,n)=1. Mas \gcd(m,666\,m)=m, logo para ser 1 é preciso m=1. Então
m=1,\quad n=666.

Passo 6

Portanto
m+n=1+666=667.

Resposta

667

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