(Olimpiada AlME-00) Os números inteiros positivos m en são primos entre si. Os coeficientes de
e
na expansão de
são iguais. Determine o valor de
.
Solução:
O termo geral de
é:
Deste modo, temos que:
e
.
Assim:
Como mdc
temos que
e
.
Assim:
Como mdc
Passo 1
O enunciado diz que
e
são inteiros positivos e
. Na expansão de
, os coeficientes de
e de
são iguais. Vamos usar o Teorema Binomial para identificar esses coeficientes e impor a igualdade.
Passo 2
Pela expansão binomial, o termo geral é
Passo 3
Para o termo em
precisamos de
, ou seja
. Logo
Para o termo em
precisamos de
, ou seja
. Logo
Passo 4
Impondo igualdade dos coeficientes,
Como
dividindo ambos os lados por
vem
Passo 5
Temos
e
. Mas
, logo para ser
é preciso
. Então
Passo 6
Portanto
Resposta
667