(UECE-17) Se u, v, p, q e s são números reais não nulos e os números p, q, s formann, nesta ordem, uma progressão geométrica crescente e se, além disso, o determinante da matriz \left[\begin{array}{ccc}u & 2 u & 4 u \\\ v & 3 v & 9 v \\\ p & q & s\end{array}\right] for igual a zero, então, a razão da progressão geométrica pode ser
A) 2 ou 3 .
B) 3 ou 4 .
C) 1,5 ou 3 .
D) 2,5 ou 4 .

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} u & 2u & 4u\\\ v & 3v & 9v\\\ p & q & s \end{pmatrix}
com u,v,p,q,s\neq0 e afirma que p,q,s formam, nessa ordem, uma progressão geométrica crescente de razão r>1. Pede-se achar r sabendo que \det A=0. Vamos calcular o determinante, usar a relação de progressão geométrica e achar r.

Passo 2

Como as duas primeiras linhas têm fator comum, fatoramos u da primeira e v da segunda linha:
\det A = uv \det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4\\\\ 1 & 3 & 9\\\ p & q & s \end{pmatrix}.
Portanto, \det A=0 equivale a
\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4\\\\ 1 & 3 & 9\\\ p & q & s \end{pmatrix}=0.

Passo 3

Expandindo essa última matriz pelo método de Laplace na primeira linha, temos
\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4\\\\ 1 & 3 & 9\\\ p & q & s \end{pmatrix} =1\cdot(3s-9q)-2\cdot(1\cdot s-9p)+4\cdot(1\cdot q-3p).
Simplificando,
3s-9q-2(s-9p)+4(q-3p) =s-5q+6p.

Passo 4

A condição \det A=0 impõe
s-5q+6p=0.

Passo 5

Como p,q,s formam progressão geométrica de razão r, vale
q = p\,r, \quad s = p\,r^2.
Substituindo em s-5q+6p=0,
p\,r^2 -5(p\,r)+6p=0 \;\Longrightarrow\; r^2-5r+6=0.

Passo 6

A equação quadrática
r^2-5r+6=0
fatora como (r-2)(r-3)=0, logo r=2 ou r=3. Ambas são maiores que 1, compatíveis com progressão geométrica crescente.

Resposta

A) 2 ou 3.
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