(UENF-02) Observe a sequência numérica a seguir: (0,3,8,15,24, \ldots)
Determine, em relação a essa sequência:
a) seu 6^{\circ} termo;
b) a expressão do termo de ordem n.

Soluçāo:

a) Seja ( a_{n} ) a sequência dada. Podemos observar que os valores de a_{n}-a_{n-1} são dados por 3,5,7,9, \ldots, que é una progressão aritmética de 1^{a} ordem com 1^{0} termo igual a 3 razão 2. Portanto, a_{6}-a_{5}=11, implicando que a_{6}=35.
b) Escrevendo as subtrações dos termos consecutivos da sequência ( a_{11} ):
a_{2}-a_{1}=3
a_{3}-a_{2}=5
a_{1}-a_{3}=7
a_{5}-a_{4}=9
a_{n}-a_{n-1}=2 n-1
Somando estas equações lado a lado obtemos:
a_{n}-a_{1}=3+5+7+\ldots+(2 n-1) \Rightarrow a_{n}-0=\frac{(3+2 n-1)(n-1)}{2} \Rightarrow a_{n}=n^{2}+1.

Passo 1

O enunciado dá a sequência (0,3,8,15,24,\dots), ou seja, a_1=0, a_2=3, a_3=8, a_4=15, a_5=24. Pede (a) o sexto termo a_6 e (b) a expressão geral a_n. Vamos usar o fato de que as diferenças a_n-a_{n-1} formam uma progressão aritmética (PA) de razão constante.

Passo 2

Calculemos as diferenças
\Delta_n = a_n - a_{n-1} = 3,\;5,\;7,\;9,\dots
Observamos que \Delta_n segue a fórmula
\Delta_n = 2n - 1,
que é uma PA de razão 2 com primeiro termo \Delta_2=3.

Passo 3

Para encontrar a_6, usamos
\Delta_6 = 2\cdot6 - 1 = 11
e
a_6 = a_5 + \Delta_6 = 24 + 11 = 35.

Passo 4

Para obter a_n em função de n, escrevemos
a_n = a_1 + \sum_{k=2}^{n}\Delta_k = 0 + \sum_{k=2}^{n}(2k-1).
Como \displaystyle\sum_{k=1}^{n}(2k-1)=n^2, segue
\sum_{k=2}^{n}(2k-1) \;=\; n^2 - 1
e, portanto,
a_n = n^2 - 1.

Resposta

a) 35
b) a_n = n^2 - 1

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