Calcule o valor de 1.2 .3+2.3 .4+3.4 .5+\ldots+n(n+1)(n+2).

Solução:

Usando notaçāo de somatório:
\begin{aligned} & S=\sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2)=\sum_{k=1}^{n}\left(k^{3}+3 k^{2}+2 k\right)=\sum_{k=1}^{n} k^{3}+3 \sum_{k=1}^{n} k^{2}+2 \sum_{k=1}^{n} k \Rightarrow \\\ & S=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}+3 \frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}+2 \frac{n(n+1)}{2} \Rightarrow \\\ & S=\frac{n(n+1)}{4}[n(n+1)+2(2 n+1)+4]=\frac{n(n+1)\left(n^{2}+5 n+6\right)}{4} \Rightarrow \\\ & S=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma
S = 1\cdot2\cdot3 \;+\; 2\cdot3\cdot4 \;+\;\cdots+\;n(n+1)(n+2)\,.
Percebemos que cada termo é um polinômio de grau 3 em k, então vamos usar somatórios de potências de k.

Passo 2

Observamos que
k(k+1)(k+2) = k\bigl(k^2 + 3k + 2\bigr) = k^3 + 3k^2 + 2k.

Passo 3

Logo
S = \sum_{k=1}^n \bigl(k^3 + 3k^2 + 2k\bigr) = \sum_{k=1}^n k^3 \;+\; 3\sum_{k=1}^n k^2 \;+\; 2\sum_{k=1}^n k\,.

Passo 4

Usamos as fórmulas conhecidas:
\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}, \qquad \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \qquad \sum_{k=1}^n k^3 = \Bigl(\frac{n(n+1)}{2}\Bigr)^2.
Substituindo em S:
S = \frac{n^2(n+1)^2}{4} + 3\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2\cdot\frac{n(n+1)}{2}.

Passo 5

Colocando tudo sobre o mesmo denominador e fatorando n(n+1):
S = \frac{n(n+1)}{4}\Bigl[n(n+1) + 2(2n+1) + 4\Bigr] = \frac{n(n+1)\bigl(n^2 + 5n + 6\bigr)}{4}.
Como n^2+5n+6=(n+2)(n+3), concluímos:

Resposta

\boxed{S = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}}.

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