UERJ - Considere a equação: 6 times 12 times 18 times cdots times 3001 times 2 times 3 times cdots times 50=216^n.
Qual é o valor de n , real, que verifica essa igualdade?
a) 13
b) 23
c) 152
d) 253
e) 503

Passo 1

O enunciado pede para achar n tal que
6 times 12 times 18 times cdots times 3001 times 2 times 3 times cdots times 50 =216^n
Este problema envolve produtos de termos em progressão aritmética e fatoriais, depois conversão em potência de base comum para resolver n.

Passo 2

Note que os termos do numerador são exatamente os múltiplos de 6 de 6cdot1 até 6cdot50. Logo,
6 times 12 times 18 times cdots times 300 =prodi=1^50(6i)
Podemos separar essa expressão em
prodi=1^50(6i) =l(prodi=1^506r)timesl(prodi=1^50ir) =6^50times 50!

Passo 3

O denominador é justamente
1 times 2 times 3 times cdots times 50 = 50!
Então a fração inteira fica
6^50times 50!50! =6^50

Passo 4

Agora igualamos 6^50 a 216^n. Note que 216=6^3, pois 6^3=216. Assim,
216^n=(6^3)^n=6^3n

Passo 5

Basta igualar os expoentes da mesma base 6:
6^50=6^3n Longrightarrow 50=3n Longrightarrow n=503

Resposta

503

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