(UFAL-2003) Tendo por base a função , de IR em IR, dada por , analise as afirmativas seguintes.
00 - Uma outra forma de expressar a lei que define fé . 11-O conjunto imagem de fé o intervalo [3, + infty [
22 - fé crescente no intervalo ] - infty, 1 [
33 - Se f(x)<6, então - 2<x<4
Passo 1
O enunciado dá a função fcolon RtoR,
f(x)=|x-1|+3,
e pede para analisar as quatro afirmações numeradas 00, 11, 22 e 33, decidindo quais são verdadeiras.
Passo 2
Para manipular f, escrevemos em forma piecewise, lembrando que |x-1|=x-1 se x>=1 e |x-1|=-(x-1) se x<1:
f(x)= (x-1)+3=x+2,&x>=1, -(x-1)+3=-x+4,&x<1
Passo 3
Afirmação 00: “Outra forma de expressar
”
Comparando com o piecewise correto, a quebra deve ocorrer em . Logo a afirmação 00 é falsa.
Passo 4
Afirmação 11: “O conjunto imagem de f é o intervalo [3,+infty[.”
Como |x-1|>=0, tem-se f(x)=|x-1|+3>=3, e em x=1 atinge exatamente 3. Assim a imagem é [3,infty). A afirmação 11 é verdadeira.
Passo 5
Afirmação 22: “f é crescente no intervalo ,]-infty,1[.”
Para x<1, f(x)=-x+4 tem derivada -1, ou seja, é decrescente. Portanto a afirmação 22 é falsa.
Passo 6
Afirmação 33: “Se f(x)<6, então -2<x<4.”
Resolver f(x)<6: