(Fatec/SP-2001) As dimensões do retângulo de área máxima localizado no primeiro quadrante, com dois lados nos eixos cartesianos e um vértice sobre o gráfico de f(x)=12-2 x são:
a) 2 e 9
b) 3 e 6
c) raiz3 e 6 raiz3
d) 2 raiz2 e 9 raiz22

Passo 1

O enunciado pede o retângulo de maior área no 1º quadrante, com dois lados sobre os eixos e o vértice oposto em (x,y) sobre o gráfico de
f(x)=12-2x
O conteúdo é otimização de função real usando derivadas.

Passo 2

Se o vértice é (x,y), então
y = f(x) = 12 - 2x
A área do retângulo é
A(x) = x cdot y = x(12 - 2x) = 12x - 2x^2
Como y>=0, temos 12-2x>=0, logo xin[0,6].

Passo 3

Calculamos a derivada para achar o ponto crítico:
A'(x) = 12 - 4x
Fazendo A'(x)=0 resulta em
12 - 4x = 0 ;Longrightarrow; x = 3

Passo 4

Verificamos que
A''(x) = -4 < 0,
logo x=3 é máximo. Substituindo em y=12-2x
y = 12 - 2cdot3 = 6

Resposta

As dimensões do retângulo de área máxima são 3 e 6, ou seja, alternativa b).

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