(UFES-13) Um dado tem cada uma de suas 6 faces numerada com inteiros diferentes, de 1 alć 6. Após o dado ser lançado uma única vez sobre uma superficie plana, cada uma de suas faces tem a mesma probabilidade de aparecer voltada para cima. Seja p_{n . k} a probabilidade de se observar um número primo na face do dado voltada para cima em exatamente k de n lançamentos, com k=1,2, \ldots, n. Calcule
A) o valor de pı.ı;
B) o valor de pio.io;
C) o valor de pio.l;
D) o valor de pio.7;

Passo 1

O enunciado considera um lançamento de dado justo (faces 1 a 6 com probabilidade 1/6 cada) e define sucesso como “sair número primo” ( 2,3,5), ou seja
p = P(\text{primo}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2},
e fracasso com probabilidade (1-p)=1/2. Como os lançamentos são independentes e queremos a probabilidade de obter exatamente k sucessos em n lançamentos, usamos a distribuição binomial, cuja fórmula é
p_{n,k} \;=\; \binom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{\,n-k}.

Passo 2

Para \displaystyle p_{1,1} temos n=1 e k=1. Aplicando a fórmula:
p_{1,1} = \binom{1}{1}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^1\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{0} = 1\cdot \tfrac12\cdot 1 = \tfrac12.

Passo 3

Para \displaystyle p_{10,10} usamos n=10 e k=10:
p_{10,10} = \binom{10}{10}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{10}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{0} = 1\cdot \Bigl(\tfrac12\Bigr)^{10} = \frac{1}{1024}.

Passo 4

Para \displaystyle p_{10,1} com n=10 e k=1:
p_{10,1} = \binom{10}{1}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^1\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{9} = 10\cdot \Bigl(\tfrac12\Bigr)^{10} = \frac{10}{1024} = \frac{5}{512}.

Passo 5

Para \displaystyle p_{10,7} onde n=10 e k=7:
p_{10,7} = \binom{10}{7}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^7\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{3} = 120\cdot \Bigl(\tfrac12\Bigr)^{10} = \frac{120}{1024} = \frac{15}{128}.

Resposta

A) \,p_{1,1}=\tfrac12
B) \,p_{10,10}=\tfrac{1}{1024}
C) \,p_{10,1}=\tfrac{5}{512}
D) \,p_{10,7}=\tfrac{15}{128}

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