(UFF-RJ) Segundo o matemático Leopold Kronecker (1823-1891), “Deus fez os números inteiros, o resto é trabalho do homem”. Os conjuntos numéricos são, como afirma o matemático, uma das grandes invenções humanas. Assim, em relação aos elementos desses conjuntos, é correto afirmar que:
a) o produto de dois números irracionais é sempre um número irracional.
b) a soma de dois números irracionais é sempre um número irracional.
c) entre os números reais 3 e 4 existe apenas um número irracional.
d) entre dois números racionais distintos existe pelo menos um número racional.

Passo 1

O enunciado apresenta afirmações sobre operações e densidade em conjuntos numéricos: racionais Q, irracionais e reais R. Para resolver, vamos analisar cada alternativa, usando contraexemplos para as que falham e a propriedade de densidade de Q em R para a correta.

Passo 2

Analisando a) “o produto de dois números irracionais é sempre um número irracional” podemos usar raiz2 que é irracional. Tomando x=raiz2 e y=raiz2, ambos irracionais, temos
xy = raiz2cdotraiz2 = 2,
que é racional. Logo, a) é falsa.

Passo 3

Para b) “a soma de dois números irracionais é sempre um número irracional” escolhemos x=raiz2 e y=-raiz2; ambos irracionais. Então
x+y = raiz2 + (-raiz2) = 0,
que é racional. Assim, b) é falsa.

Passo 4

A alternativa c) diz “entre os números reais 3 e 4 existe apenas um número irracional”. Na verdade existem infinitos irracionais entre 3 e 4, por exemplo 3 + tfracpi-32, e de maneira geral o conjunto de irracionais nesse intervalo é infinito (até incontável). Portanto, c) é falsa.

Passo 5

A alternativa d) afirma “entre dois números racionais distintos existe pelo menos um número racional”. Isso decorre da densidade de Q em R: se r<s são racionais, então a média
m = r+s2
é racional e satisfaz r<m<s. Logo, d) é verdadeira.

Resposta

d)

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