(UFF-RJ) Segundo o matemático Leopold Kronecker (1823-1891), “Deus fez os números inteiros, o resto é trabalho do homem”. Os conjuntos numéricos são, como afirma o matemático, uma das grandes invenções humanas. Assim, em relação aos elementos desses conjuntos, é correto afirmar que:
a) o produto de dois números irracionais é sempre um número irracional.
b) a soma de dois números irracionais é sempre um número irracional.
c) entre os números reais 3 e 4 existe apenas um número irracional.
d) entre dois números racionais distintos existe pelo menos um número racional.
a) o produto de dois números irracionais é sempre um número irracional.
b) a soma de dois números irracionais é sempre um número irracional.
c) entre os números reais 3 e 4 existe apenas um número irracional.
d) entre dois números racionais distintos existe pelo menos um número racional.
Passo 1
O enunciado apresenta afirmações sobre operações e densidade em conjuntos numéricos: racionais
, irracionais e reais
. Para resolver, vamos analisar cada alternativa, usando contraexemplos para as que falham e a propriedade de densidade de
em
para a correta.
Passo 2
Analisando a) “o produto de dois números irracionais é sempre um número irracional” podemos usar
que é irracional. Tomando
e
, ambos irracionais, temos
que é racional. Logo, a) é falsa.
Passo 3
Para b) “a soma de dois números irracionais é sempre um número irracional” escolhemos
e
; ambos irracionais. Então
que é racional. Assim, b) é falsa.
Passo 4
A alternativa c) diz “entre os números reais 3 e 4 existe apenas um número irracional”. Na verdade existem infinitos irracionais entre 3 e 4, por exemplo
, e de maneira geral o conjunto de irracionais nesse intervalo é infinito (até incontável). Portanto, c) é falsa.
Passo 5
A alternativa d) afirma “entre dois números racionais distintos existe pelo menos um número racional”. Isso decorre da densidade de
em
: se
são racionais, então a média
é racional e satisfaz
. Logo, d) é verdadeira.
Resposta
d)