(UFF-RJ) A tabela a seguir mostra as estatísticas de três times num torneio de futebol.
Time Gols sofridos (GS) Finalizações em gol (FG) Gols a favor (GF)
Campestre 2 48 12
Praiano 6 50 13
Serrano 3 35 9
Não satisfeito com o resultado do torneio, João criou, para cada time, a função quadrática:

substituindo GS, FG e GF pelos valores correspondentes na tabela.
Segundo o critério de João, o desempenho de cada time é representado pelo valor mínimo de , de modo que, quanto maior o valor mínimo de , melhor será o desempenho do time correspondente.
Considerando a função quadrática correspondente a cada time da tabela e o critério de João, pode-se afirmar que:

Passo 1

O enunciado mostra que, para cada time, João define
P(x)=tfrac12l((x-GS)^2+2,FG+(x-GF)^2r)
onde GS é gols sofridos, FG finalizações em gol e GF gols a favor. Segundo o critério dele, o desempenho é dado pelo valor mínimo de P(x). Nosso objetivo é achar esse mínimo para cada time e comparar.

Passo 2

Vamos colocar P(x) na forma padrão de uma quadrática. Primeiro expandimos por dentro do colchete:
P(x) = tfrac12l((x-GS)^2+(x-GF)^2+2,FGr) = x^2-(GS+GF),x + GS^2+GF^2+2,FG2

Passo 3

Para encontrar o mínimo completamos o quadrado. Defina
s = GS + GF, t = GS^2+GF^2+2,FG2
Então
P(x) = x^2 - s,x + t = l(x-tfracs2r)^2 - s^24 + t
Logo o vértice ocorre em
xv = s2
e o valor mínimo é
Pmin = t - s^24 = FG + (GS - GF)^24

Passo 4

Agora calculamos Pmin para cada time:
Campestre ( GS=2, GF=12, FG=48):
Pmin = 48 + (2-12)^24 = 48 + 1004 = 73
Praiano ( GS=6, GF=13, FG=50):
Pmin = 50 + (6-13)^24 = 50 + 494 = 62,25
Serrano ( GS=3, GF=9, FG=35):
Pmin = 35 + (3-9)^24 = 35 + 364 = 44

Passo 5

Comparando os mínimos temos
73 > 62,25 > 44
Portanto, pelo critério de João, o melhor desempenho é do Campestre, em seguida Praiano e por último Serrano.

Resposta

A ordem decrescente de desempenho é Campestre, Praiano e Serrano.

Exercícios de Livros Relacionados