(UFLA-2000) O valor de “a” para que o polinômio \mathrm{P}(\mathrm{X})=-10 \mathrm{X}^{2}-\mathrm{aX}+3 seja divisível pelo polinômio \mathrm{Q}(\mathrm{X})=2 \mathrm{X}+3, é
a) -13
b) 15
c) 13
d) 17
e) -17

Passo 1

O enunciado pede o valor de a para que o polinômio
P(X) = -10X^{2} - aX + 3
seja divisível por
Q(X) = 2X + 3.
O conteúdo aqui é o Teorema do Resto: um polinômio Q(X) de grau 1 divide P(X) se, e somente se, a raiz de Q anula P.

Passo 2

A raiz de Q(X) vem de
2X + 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad X = -\tfrac{3}{2}.
Logo, a condição de divisibilidade é
P\bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr) = 0.

Passo 3

Vamos calcular
P\bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr) = -10\bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr)^{2} \;-\; a\bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr)\;+\;3.
Como \bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr)^{2} = \tfrac{9}{4}, isso fica
-10\cdot\tfrac{9}{4} \;+\;\tfrac{3a}{2} \;+\;3.

Passo 4

Primeiro, -10\cdot\tfrac{9}{4} = -\tfrac{90}{4} = -\tfrac{45}{2}. E 3 = \tfrac{6}{2}. Portanto
P\bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr) = -\tfrac{45}{2} + \tfrac{3a}{2} + \tfrac{6}{2} = \frac{-45 + 3a + 6}{2} = \frac{3a - 39}{2}.
Impondo P(-\tfrac{3}{2})=0
\frac{3a - 39}{2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3a - 39 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3a = 39 \quad\Longrightarrow\quad a = 13.

Resposta

c) 13

Exercícios de Livros Relacionados