(UnB-16) Um parque temático expõe dois aquários, com 50 espécies de peixes diferentes, conforme descrito a seguir.
  • No primeiro (de água doce), há a_{1} exemplares da i-ésima espécie, com i=1, 2, \ldots, 10; a sequência ( a_{1}, \ldots, a_{1} ) está em progressão geométrica; \mathrm{a}_{1}=2 e \mathrm{a}_{3}=18.
  • No segundo aquário (de água salgada), há bj exemplares da j-ésima espécie, com \mathrm{j}=1,2, \ldots, 40; a sequência ( b_{1}, \ldots, b_{40} ) está em progressão aritmética; b_{4}=70 e b b_{31}=668.
    Tendo como referência essas informações, julgue os itens de 1 a 4 e assinale a opção correta nos itens 5 e 6 .
    (1) A trigésima oitava espécie de peixes do aquário de água salgada possui mais de 850 exemplares.
    (2) Para qualquer espécie de peixes, o número de exemplares é sempre par.
    (3) Existe exatamente um par de espécies de peixes que possuem o mesmo número de exemplares.
    (4) A sćtima espécie de peixes do aquário de água doce possui mais de 1.500 exemplares.
    (5) Considere que as expressões dos termos gerais das progressões a_{i} e b_{j}
    sejam definidas para todo i e j no conjunto dos números reais. Nessa situação, as funções que associam i e j aos termos gerais são, respectivamente,
    a) exponencial e polinomial.
    b) logaritmica e exponencial.
    c) exponencial e logarítmica.
    d) polinomial e logaritmica.
    (6) A quantidade total de exemplares das 50 espécies de peixes é
    a) inferior a 40 mil .
    b) superior a 40 mil e inferior a 70 mil .
    c) superior a 70 mil e inferior a 100 mil .
    d) superior a 100 mil .

Passo 1

O enunciado descreve duas sequências de contagem de peixes:
– No aquário de água doce, temos 10 espécies com quantidades a_i em progressão geométrica, com a_1=2 e a_3=18.
– No aquário de água salgada, temos 40 espécies com quantidades b_j em progressão aritmética, com b_4=70 e b_{31}=668.
Para resolver, precisamos encontrar a razão r da PG, a diferença d da PA, as fórmulas gerais a_i e b_j, e então avaliar os itens de verdade/falsidade e as questões de classificação e soma total.

Passo 2

Primeiro a PG dos a_i:
r^2=\frac{a_3}{a_1}=\frac{18}{2}=9\implies r=3.
Logo
a_i = 2\cdot 3^{\,i-1}.
Agora a PA dos b_j:
d=\frac{b_{31}-b_4}{31-4}=\frac{668-70}{27}=\frac{598}{27},\quad b_1=b_4-3d=70-3\cdot\frac{598}{27}=\frac{32}{9}.
Assim
b_j = \frac{32}{9} + (j-1)\,\frac{598}{27}.

Passo 3

Agora julgamos os itens 1 a 4:
  1. Espécie 38 do água salgada:
b_{38}=b_4+34d=70+34\cdot\frac{598}{27}\approx823<850,
logo (1) é FALSO.
  1. Paridade: a_i=2\cdot3^{i-1} é sempre par, mas
    b_j assume valores não inteiros (portanto não necessariamente pares), logo (2) é FALSO.
  2. Igualdade de um a_i e um b_j: resolver
2\cdot3^{i-1}=\frac{32}{9}+(j-1)\frac{598}{27}
não gera solução inteira em 1\le i\le10, 1\le j\le40, então (3) é FALSO.
  1. Sétima espécie do doce:
a_7 = 2\cdot3^6 = 2\cdot729 = 1458<1500,
portanto (4) é FALSO.

Passo 4

Item 5 pede a classificação das funções que associam i\mapsto a_i e j\mapsto b_j estendidas a todos os reais:
a(x)=2\cdot3^{x-1} é função exponencial de x.
b(x)=\tfrac{32}{9} + (x-1)\,\tfrac{598}{27} é polinomial (grau 1).
Resposta do item 5: a) exponencial e polinomial.

Passo 5

Item 6 pede a soma total dos 50 exemplares:
Soma da PG ( 10 termos):
S_a = \sum_{i=1}^{10}2\cdot3^{i-1} =2\;\frac{3^{10}-1}{3-1} =59048.
Soma da PA ( 40 termos):
S_b = \frac{40}{2}\,\bigl(b_1 + b_{40}\bigr) \approx17418.
Total aproximado 59048 + 17418 \approx 76466, ou seja, entre 70 000 e 100 000.
Resposta do item 6: c) superior a 70 mil e inferior a 100 mil.

Resposta

(5) a
(6) c

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