(UFPA-97) O determinante da matriz \Lambda=\left(\begin{array}{ccc}2 & 3 & 1 \\\\ -1 & y & 0 \\\\ 1 & 2 & 2 y\end{array}\right) é igual a -2 . Se B e C
são as matrizes obtidas respectivamente, pela substituição enı A do menor e do maior valor de y encontrados, calcule a matriz transposta do produto de B por C.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
\Lambda = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1\\\\ -1 & y & 0\\\\ 1 & 2 & 2y \end{pmatrix}
e pede ( 1) achar os valores de y tais que \det\Lambda=-2; ( 2) formar B e C substituindo, em \Lambda, o menor e o maior desses y; ( 3) calcular (BC)^T. Vamos usar expansão de determinante por cofatores, resolver a equação resultante, depois fazer multiplicação de matrizes e, por fim, transpor.

Passo 2

Expandindo o determinante pela primeira linha:
\det\Lambda =2\cdot\det\begin{pmatrix}y&0\\\ 2&2y\end{pmatrix} -3\cdot\det\begin{pmatrix}-1&0\\\ 1&2y\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}-1&y\\\ 1&2\end{pmatrix}.
Calculando menores,
\det\begin{pmatrix}y&0\\\ 2&2y\end{pmatrix}=2y^2,
\det\begin{pmatrix}-1&0\\\ 1&2y\end{pmatrix}=-2y,
\det\begin{pmatrix}-1&y\\\ 1&2\end{pmatrix}=-2-y.
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\det\Lambda =2\cdot2y^2 \;-\;3\cdot(-2y)\;+\;(-2-y) =4y^2+6y-2-y =4y^2+5y-2.
Impondo \det\Lambda=-2
4y^2+5y-2=-2 \quad\Longrightarrow\quad 4y^2+5y=0 \quad\Longrightarrow\quad y(4y+5)=0,
ou seja y=0 ou y=-\tfrac{5}{4}.

Passo 3

O menor valor é y=-\tfrac{5}{4} e o maior é y=0. Substituindo em \Lambda:
B=\Lambda\bigl|_{y=-\frac{5}{4}} =\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1\\\\ -1 & -\tfrac{5}{4} & 0\\\\ 1 & 2 & -\tfrac{5}{2} \end{pmatrix}, \quad C=\Lambda\bigl|_{y=0} =\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1\\\\ -1 & 0 & 0\\\\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Multiplicando B por C, cada entrada é produto escalar de linha de B por coluna de C. Assim:
BC =\begin{pmatrix} 2\cdot2 + 3\cdot(-1) + 1\cdot1 & 2\cdot3 + 3\cdot0 + 1\cdot2 & 2\cdot1 + 3\cdot0 + 1\cdot0\\\ (-1)\cdot2 + \bigl(-\tfrac{5}{4}\bigr)\cdot(-1) + 0\cdot1 & (-1)\cdot3 + \bigl(-\tfrac{5}{4}\bigr)\cdot0 + 0\cdot2 & (-1)\cdot1 + \bigl(-\tfrac{5}{4}\bigr)\cdot0 + 0\cdot0\\\\ 1\cdot2 + 2\cdot(-1) + \bigl(-\tfrac{5}{2}\bigr)\cdot1 & 1\cdot3 + 2\cdot0 + \bigl(-\tfrac{5}{2}\bigr)\cdot2 & 1\cdot1 + 2\cdot0 + \bigl(-\tfrac{5}{2}\bigr)\cdot0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 & 8 & 2\\\\ -\tfrac{3}{4} & -3 & -1\\\\ -\tfrac{5}{2} & -2 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 5

A transposta de BC é
(BC)^T =\begin{pmatrix} 2 & -\tfrac{3}{4} & -\tfrac{5}{2}\\\\ 8 & -3 & -2\\\\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

\begin{pmatrix} 2 & -\tfrac{3}{4} & -\tfrac{5}{2}\\\\ 8 & -3 & -2\\\\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}
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