(UFMI-97) Considere os polinômios \mathrm{A}(\mathrm{x}), de grau m, e \mathrm{B}(\mathrm{x}), de grau n, com m \geq n, ambos de coeficientes reais, e, julgue os itens.
(0) 0 grau do polinômio \mathrm{S}(\mathrm{x})=\mathrm{A}(\mathrm{x})+\mathrm{B}(\mathrm{x}) é m+ n.
(1) 0 polinômio \mathrm{P}(\mathrm{x})=\mathrm{A}(\mathrm{x}) \cdot \mathrm{B}(\mathrm{x}) é de grau m.n.
(2) Se \mathrm{O}(\mathrm{x}) é o quociente da divisão \mathrm{A}(\mathrm{x}) \div \mathrm{B}(\mathrm{x}), corm B(x) \neq 0, entăo Q(x) é um polinômio de grau m-n.

Passo 1

O enunciado trata de polinômios A(x) e B(x) com coeficientes reais, de graus \deg A(x)=m e \deg B(x)=n, com m\ge n. Precisamos julgar se são verdadeiras as afirmativas sobre o grau de (0) S(x)=A(x)+B(x), (1) P(x)=A(x)\cdot B(x) e (2) o quociente Q(x) de A(x)\div B(x).

Passo 2

Para a soma temos a propriedade
\deg\bigl(A(x)+B(x)\bigr)\le\max\{\deg A(x),\deg B(x)\}=\max\{m,n\}=m.
Ou seja, não é m+n, mas sim no máximo m (igual a m salvo cancelamento do termo líder). Logo o item (0) é falso.

Passo 3

Para o produto vale a regra
\deg\bigl(A(x)\cdot B(x)\bigr)=\deg A(x)+\deg B(x)=m+n,
e não m\cdot n. Portanto o item (1) também é falso.

Passo 4

Na divisão de polinômios, quando B(x)\neq0, existe Q(x) polinomial e resto R(x) com
A(x)=B(x)\,Q(x)+R(x), \quad \deg R(x)<\deg B(x)=n.
Dessa relação segue que
\deg Q(x)=\deg A(x)-\deg B(x)=m-n.
Logo o item (2) é verdadeiro.

Resposta

(0) F
(1) F
(2) V

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