(Olimpiada do Rio de Janeiro-2007) Dado que x e y são reais positivos tais que x^{3}+y^{3}+(x+y)^{3} +33 x y=2662, determine o valor numérico de S =x+y.

Passo 1

O enunciado dá dois reais positivos x e y tais que
x^{3} + y^{3} + (x+y)^{3} + 33\,x\,y = 2662
e pede S = x+y.
O conteúdo envolve soma e produto das raízes de um polinômio quadrático, pois x e y são as raízes de
t^{2} - S\,t + P = 0,
onde S = x+y e P = x\,y.

Passo 2

Expressamos x^{3} + y^{3} em função de S e P.
Sabemos que
x^{3}+y^{3} = (x+y)^{3} - 3\,x\,y\,(x+y) = S^{3} - 3\,P\,S.
Substituindo na equação original, vem
(x^{3}+y^{3}) + (x+y)^{3} + 33\,P = \bigl(S^{3}-3PS\bigr) + S^{3} + 33P = 2662.

Passo 3

Agrupando termos em S e P, obtemos
2\,S^{3} \;-\; 3\,P\,S \;+\; 33\,P \;=\; 2662 \quad\Longrightarrow\quad 2\,S^{3} \;+\; P\,(33 - 3S) \;=\; 2662.

Passo 4

Para que a equação seja satisfeita para algum P, temos duas hipóteses:
  1. Se 33-3S \neq 0, então
P = \frac{2662 - 2S^{3}}{33 - 3S},
mas isso leva a valores de P que não permitem x,y reais positivos (análise do discriminante daria negativo).
2. Se 33 - 3S = 0, então S = 11 e a equação reduz-se a
2\,S^{3} = 2662 \quad\Longrightarrow\quad S^{3} = 1331 \quad\Longrightarrow\quad S = 11.
Esse caso simultaneamente elimina o termo em P e satisfaz a identidade original para qualquer P, garantindo infinitas soluções reais com x+y=11.

Passo 5

Concluímos que a única possibilidade para x,y reais positivos é
S = x+y = 11.

Resposta

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