(Olimpiada do Rio de Janeiro-2007) Dado que
e y são reais positivos tais que
, determine o valor numérico de
.
Passo 1
O enunciado dá dois reais positivos
e
tais que
e pede
.
O conteúdo envolve soma e produto das raízes de um polinômio quadrático, pois e
são as raízes de
O conteúdo envolve soma e produto das raízes de um polinômio quadrático, pois
onde
e
.
Passo 2
Expressamos
em função de
e
.
Sabemos que
Sabemos que
Substituindo na equação original, vem
Passo 3
Agrupando termos em
e
, obtemos
Passo 4
Para que a equação seja satisfeita para algum
, temos duas hipóteses:
- Se
, então
mas isso leva a valores de
que não permitem
reais positivos (análise do discriminante daria negativo).
2. Se , então
e a equação reduz-se a
2. Se
Esse caso simultaneamente elimina o termo em
e satisfaz a identidade original para qualquer
, garantindo infinitas soluções reais com
.
Passo 5
Concluímos que a única possibilidade para
reais positivos é