(OBM-2005) O número
(2+\sqrt{2})^{3}(3-\sqrt{2})^{4}+(2-\sqrt{2})^{3}(3+\sqrt{2})^{4} é:
A) inteiro impar
B) inteiro par
C) racional não inteiro
D) irracional positivo
E) irracional negativo

Passo 1

O enunciado pede para calcular:
(2+\sqrt{2})^3(3-\sqrt{2})^4 \;+\;(2-\sqrt{2})^3(3+\sqrt{2})^4
Vamos usar a expansão binomial para cada um dos quatro fatores, obtendo expressões da forma a+b\sqrt{2} e então somar, observando que os termos em \sqrt{2} se cancelam.

Passo 2

Calculando (2+\sqrt{2})^3 e (2-\sqrt{2})^3 por expansão binomial:
(2+\sqrt{2})^3 = 2^3 + 3\cdot2^2\sqrt{2} + 3\cdot2\,( \sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^3 = 8 + 12\sqrt{2} + 12 + 2\sqrt{2} = 20 + 14\sqrt{2}
(2-\sqrt{2})^3 = 20 - 14\sqrt{2}

Passo 3

Calculando (3-\sqrt{2})^4 e (3+\sqrt{2})^4 por expansão binomial:
(3-\sqrt{2})^4 = 3^4 -4\cdot3^3\sqrt{2} +6\cdot3^2(\sqrt{2})^2 -4\cdot3(\sqrt{2})^3 + (\sqrt{2})^4 = 81 -108\sqrt{2} +108 -24\sqrt{2} +4 = 193 -132\sqrt{2}
(3+\sqrt{2})^4 = 193 +132\sqrt{2}

Passo 4

Multiplicando e somando as duas parcelas:
(20+14\sqrt{2})(193-132\sqrt{2}) = 3860 -2640\sqrt{2} +2702\sqrt{2} -3696 = 164 +62\sqrt{2}
(20-14\sqrt{2})(193+132\sqrt{2}) = 3860 +2640\sqrt{2} -2702\sqrt{2} -3696 = 164 -62\sqrt{2}
Somando-as:
(164 +62\sqrt{2}) + (164 -62\sqrt{2}) = 328
O resultado é o inteiro 328, que é par.

Resposta

(B) inteiro par

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