(UFMT-04) Uma maneira para codificar ou decodificar uma mensagem é utilizar a multiplicação de matrizes. Para tanto, associam-se as letras do
alfabeto e alguns simbolos aos números, segundo a correspondência a seguir.
1 13 6 11 5 5 (; 11 1 1 k 1 11 1 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
\Gamma 0 18 S T 1 1 11 X 1 7 .1 1
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
Nesse exemplo, o simbolo # indica um espaço entre as palavras. A mensagem codificada a ser enviada 63204212113 4415321184 está representada pela matriz:
\mathrm{N}=\left(\begin{array}{ccccc} 63 & 20 & 42 & 12 & 113 \\\\ 44 & 15 & 32 & 11 & 84 \end{array}\right)
obtida do produto entre a matriz A=\left(\begin{array}{ll}3 & 1 \\\\ 2 & 1\end{array}\right) e a matriz M que contém a mensagem original decodificada ( \mathrm{N}= A.M). Para decodificar a mensagem, multiplica-se a matriz inversa de A pela matriz N obtendo-se a matriz M ( \mathrm{M}= \left.A^{-1} . \mathrm{N}\right). Assim sendo, a mensagem, após decodificada, será
a) AME O BEM
b) SONHE ALTO
c) CANTE ALTO
d) SEJA FELIZ

Passo 1

O enunciado dá a matriz codificada
N = \begin{pmatrix} 63 & 20 & 42 & 12 & 113\\\\ 44 & 15 & 32 & 11 & 84 \end{pmatrix}
e a matriz chave
A = \begin{pmatrix}3 & 1\\\ 2 & 1\end{pmatrix},
sendo que a mensagem original está em M e N = A\cdot M. Para decodificar, precisamos calcular A^{-1} e obter
M = A^{-1}\cdot N.
Em seguida, cada entrada de M corresponde a um código segundo a tabela onde 1\to A, 2\to B, ···, 26\to Z e 29\to\# (espaço).

Passo 2

Calcular a inversa de
A = \begin{pmatrix}3 & 1\\\ 2 & 1\end{pmatrix}.
O determinante é \det(A)=3\cdot1-1\cdot2=1, logo
A^{-1} = \frac1{1}\begin{pmatrix}1 & -1\\\ -2 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & -1\\\ -2 & 3\end{pmatrix}.

Passo 3

Multiplicar A^{-1} por N:
M = \begin{pmatrix}1 & -1\\\ -2 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 63 & 20 & 42 & 12 & 113\\\\ 44 & 15 & 32 & 11 & 84 \end{pmatrix}.
Compute linha a linha:
– Primeira linha: (63-44,\;20-15,\;42-32,\;12-11,\;113-84) = (19,5,10,1,29).
– Segunda linha: (-2\cdot63+3\cdot44,\;-2\cdot20+3\cdot15,\;-2\cdot42+3\cdot32,\;-2\cdot12+3\cdot11,\;-2\cdot113+3\cdot84) = (6,5,12,9,26).
Portanto
M = \begin{pmatrix} 19 & 5 & 10 & 1 & 29\\\\ 6 & 5 & 12 & 9 & 26 \end{pmatrix}.

Passo 4

Decodificar cada número segundo a tabela
\,1\to A,\;2\to B,\ldots,26\to Z,\;29\to\# (espaço).
Primeira linha de M:
19\to S,\quad5\to E,\quad10\to J,\quad1\to A,\quad29\to\#,
formando “SEJA\ ).
Segunda linha de M:
6\to F,\quad5\to E,\quad12\to L,\quad9\to I,\quad26\to Z,
formando “FELIZ”.

Resposta

d) SEJA FELIZ

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