:3) (UnB-12) Dada uma matriz quadrada A, define-se o traço de A, simbolizado por \operatorname{tr}(\mathrm{A}), como a soma dos elementos de sua diagonal principal. A partir dessas informações e considerando as matrizes \mathrm{P}=\left(\begin{array}{ll}0,7 & 0,2 \\\\ 0,3 & 0,8\end{array}\right), \mathrm{Q}=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\\\ 3 & 1\end{array}\right) e \mathrm{R}= 100.Q - { }^{1} \mathrm{PQ}, determine o valor do quociente \frac{\operatorname{det}(R)}{\operatorname{tr}(R)} em que \operatorname{det}(R) é o determinante da matriz R. Despreze, caso exista, a parte fracionária do resultado final obtido, após ter efetuado todos os cálculos solicitados.
24) (Unicamp-14) Considere a matriz M =\left[\begin{array}{lll}1 & a & 1 \\\ b & 1 & a \\\\ 1 & b & 1\end{array}\right], onde a e b são números reais e distintos. Podemos afirmar que a) a matriz M não é invertível
b) o determinante de M é positivo.
c) o determinante de M é igual \mathrm{a} \mathrm{a}^{2}-\mathrm{b}^{2}.
d) a matriz M é igual à sua transposta.
e então obter o quociente \displaystyle \frac{\det(R)}{\tr(R)}, desprezando a parte fracionária.
Conteúdo necessário: inversão de matriz 2\times2, produto de matrizes, determinante e traço.]
M = \begin{pmatrix}1 & a & 1\\[3pt]b & 1 & a\\[3pt]1 & b & 1\end{pmatrix},
com a e b reais distintos, temos quatro afirmações; precisamos checar qual é verdadeira:
a) M não é invertível.
b) \det(M) é positivo.
c) \det(M)=a\,(a^2 - b^2).
d) M = M^T.]
\det(M) = (1 - ab) - a\,(b - a) + (b^2 - 1) = 1 - ab - ab + a^2 + b^2 - 1 = a^2 + b^2 - 2ab = (a - b)^2.
Passo 9
Como a\neq b, temos (a-b)^2>0. Logo:
– M é invertível (logo a) é falsa).
– \det(M)>0 (b) é verdadeira).
– c) seria a\,(a^2 - b^2), mas nosso resultado é (a-b)^2\neq a(a^2 - b^2) em geral, então c) é falsa.
– d) exige a=b para M=M^T, mas a\neq b, logo d) é falsa.
Resposta
b) \det(M) é positivo.
Cálculo - Marcelo Rufino de Oliveira - Elementos da matemática - Vol 3 - 3ª Edição - Capítulo 11.Exercícios - Ex. 23