:3) (UnB-12) Dada uma matriz quadrada A, define-se o traço de A, simbolizado por \operatorname{tr}(\mathrm{A}), como a soma dos elementos de sua diagonal principal. A partir dessas informações e considerando as matrizes \mathrm{P}=\left(\begin{array}{ll}0,7 & 0,2 \\\\ 0,3 & 0,8\end{array}\right), \mathrm{Q}=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\\\ 3 & 1\end{array}\right) e \mathrm{R}= 100.Q - { }^{1} \mathrm{PQ}, determine o valor do quociente \frac{\operatorname{det}(R)}{\operatorname{tr}(R)} em que \operatorname{det}(R) é o determinante da matriz R. Despreze, caso exista, a parte fracionária do resultado final obtido, após ter efetuado todos os cálculos solicitados.
24) (Unicamp-14) Considere a matriz M =\left[\begin{array}{lll}1 & a & 1 \\\ b & 1 & a \\\\ 1 & b & 1\end{array}\right], onde a e b são números reais e distintos. Podemos afirmar que a) a matriz M não é invertível
b) o determinante de M é positivo.
c) o determinante de M é igual \mathrm{a} \mathrm{a}^{2}-\mathrm{b}^{2}.
d) a matriz M é igual à sua transposta.

Passo 1

O enunciado pede para as matrizes
P = \begin{pmatrix}0{,}7 & 0{,}2\\[6pt]0{,}3 & 0{,}8\end{pmatrix}, \quad Q = \begin{pmatrix}2 & -1\\[3pt]3 & 1\end{pmatrix}
calcular
R = 100\,Q \;-\;P^{-1}Q,
e então obter o quociente \displaystyle \frac{\det(R)}{\tr(R)}, desprezando a parte fracionária.
Conteúdo necessário: inversão de matriz 2\times2, produto de matrizes, determinante e traço.]

Passo 2

Calcular o determinante de P e sua inversa.
\det(P) = 0{,}7\cdot0{,}8 - 0{,}2\cdot0{,}3 = 0{,}56 - 0{,}06 = 0{,}50.
Logo
P^{-1} = \frac{1}{0{,}50}\begin{pmatrix}0{,}8 & -0{,}2\\[3pt]-0{,}3 & 0{,}7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1{,}6 & -0{,}4\\[3pt]-0{,}6 & 1{,}4\end{pmatrix}.]

Passo 3

Calcular o produto P^{-1}Q:
P^{-1}Q = \begin{pmatrix}1{,}6 & -0{,}4\\[3pt]-0{,}6 & 1{,}4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & -1\\[3pt]3 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1{,}6\cdot2 + (-0{,}4)\cdot3 & 1{,}6\cdot(-1)+(-0{,}4)\cdot1\\[6pt] (-0{,}6)\cdot2 + 1{,}4\cdot3 & (-0{,}6)\cdot(-1)+1{,}4\cdot1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & -2\\[3pt]3 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular 100\,Q e depois R:
100\,Q = \begin{pmatrix}200 & -100\\[3pt]300 & 100\end{pmatrix}, \qquad R = 100\,Q \;-\;P^{-1}Q = \begin{pmatrix}200-2 & -100-(-2)\\[3pt]300-3 & 100-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}198 & -98\\[3pt]297 & 98\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular \det(R) e \tr(R):
\det(R) = 198\cdot98 - (-98)\cdot297 = 98\,(198+297) = 98\cdot495 = 48\,510,
\tr(R) = 198 + 98 = 296.

Passo 6

Formar o quociente e desprezar a parte fracionária:
\frac{\det(R)}{\tr(R)} = \frac{48\,510}{296} \approx 163,88\quad\Longrightarrow\quad163.

Passo 7

Para a matriz
M = \begin{pmatrix}1 & a & 1\\[3pt]b & 1 & a\\[3pt]1 & b & 1\end{pmatrix},
com a e b reais distintos, temos quatro afirmações; precisamos checar qual é verdadeira:
a) M não é invertível.
b) \det(M) é positivo.
c) \det(M)=a\,(a^2 - b^2).
d) M = M^T.]

Passo 8

Calcular \det(M) por desenvolvimento direto:
\det(M) = 1\cdot\bigl(1\cdot1 - a\,b\bigr) - a\cdot\bigl(b\cdot1 - a\cdot1\bigr) + 1\cdot\bigl(b\cdot b - 1\cdot1\bigr).
Isso dá
\det(M) = (1 - ab) - a\,(b - a) + (b^2 - 1) = 1 - ab - ab + a^2 + b^2 - 1 = a^2 + b^2 - 2ab = (a - b)^2.

Passo 9

Como a\neq b, temos (a-b)^2>0. Logo:
M é invertível (logo a) é falsa).
\det(M)>0 (b) é verdadeira).
– c) seria a\,(a^2 - b^2), mas nosso resultado é (a-b)^2\neq a(a^2 - b^2) em geral, então c) é falsa.
– d) exige a=b para M=M^T, mas a\neq b, logo d) é falsa.

Resposta

b) \det(M) é positivo.
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