(UFPE-2004) Uma pesquisa sobre a relação entre o preço e a demanda de certo produto revelou que: a cada desconto de R$50,00 no preço do produto, o número de unidades vendidas aumentava de 10. Se, quando o preço do produto era R$ 1.800,00 o número de unidades vendidas era de 240, calcule o valor máximo, em reais, que pode ser obtido com a venda das unidades do produto, e indique a soma dos seus dígitos.

Passo 1

O enunciado estabelece uma relação linear entre o preço p (em reais) e a quantidade vendida q: a cada redução de R$ 50,00 no preço, q aumenta em 10 unidades. Sabemos que em p=1800 temos q=240. É um problema de demanda linear e maximização de receita, pois a receita é R(p)=p cdot q(p).

Passo 2

Vamos achar a função demanda q(p). A variação de preço em relação a 1800 é (1800-p); para cada redução de 50 reais, ganhamos 10 unidades. Logo,
q(p)=240+10cdot1800-p50,
Simplificando:
q(p)=240+1800-p5=240+360-p5=600-p5,

Passo 3

A receita é
R(p)=p;q(p)=pl(600-p5r)=600p-p^25,
Isso é uma parábola côncava para baixo (coeficiente de p^2 negativo). O preço que maximiza fica no vértice:
p^*=-b2a=-6002cdot(-tfrac15)=1500

Passo 4

Para p=1500 calculamos
q(1500)=600-15005=600-300=300
e a receita máxima
Rmax=1500times300=450000reais

Passo 5

Agora somamos os dígitos de 450000:
4+5+0+0+0+0=9

Resposta

A receita máxima é 450000 reais e a soma de seus dígitos é 9.

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