(UFPE-2004) Uma pesquisa sobre a relação entre o preço e a demanda de certo produto revelou que: a cada desconto de R$50,00 no preço do produto, o número de unidades vendidas aumentava de 10. Se, quando o preço do produto era R$ 1.800,00 o número de unidades vendidas era de 240, calcule o valor máximo, em reais, que pode ser obtido com a venda das unidades do produto, e indique a soma dos seus dígitos.
Passo 1
O enunciado estabelece uma relação linear entre o preço
(em reais) e a quantidade vendida
: a cada redução de R$
no preço,
aumenta em
unidades. Sabemos que em
temos
. É um problema de demanda linear e maximização de receita, pois a receita é
.
Passo 2
Vamos achar a função demanda
. A variação de preço em relação a
é
; para cada redução de
reais, ganhamos
unidades. Logo,
Simplificando:
Passo 3
A receita é
Isso é uma parábola côncava para baixo (coeficiente de
negativo). O preço que maximiza fica no vértice:
Passo 4
Para
calculamos
e a receita máxima
Passo 5
Agora somamos os dígitos de
:
Resposta
A receita máxima é
reais e a soma de seus dígitos é
.