(UFPE-99) Considere a função
definida para todo real x. Podemos afirmar que:
0-0)
1-1)
2-2)
não assume valores negativos
3-3) Existe um único real
tal que
4-4)
definida para todo real x. Podemos afirmar que:
0-0)
1-1)
2-2)
3-3) Existe um único real
4-4)
Passo 1
O enunciado define a função
e pergunta quais das afirmações abaixo são verdadeiras. Para isso, vamos (i) manipular algebricamente a expressão para verificar as formas propostas, (ii) analisar o sinal de
, (iii) determinar onde
, e (iv) estimar o valor de
.
Passo 2
Para a afirmação 0–0) temos de mostrar que
De fato,
logo
e 0–0) é verdadeira.
Passo 3
Para a afirmação 1–1) multiplicamos numerador e denominador de
por
:
portanto 1–1) também é verdadeira.
Passo 4
O denominador de
é
para todo
, e o fator
também é sempre positivo. Assim o sinal de
é o mesmo de
. Logo
assume valores negativos sempre que
, e a afirmação 2–2) é falsa.
Passo 5
Para resolver
basta anular o numerador:
Como essa é a única solução, a afirmação 3–3) é verdadeira.
Passo 6
Para
temos
Como
, obtemos
que satisfaz
logo 4–4) é verdadeira.
Resposta
As afirmações verdadeiras são 0–0), 1–1), 3–3) e 4–4).