(UFPE-99) Considere a função
f(x)=x^-x(1+2^-x)^2
definida para todo real x. Podemos afirmar que:
0-0) f(x)=x 2^-x1+2^-x+1+2^-2 x
1-1) f(x)=x2^x+2+2^-x
2-2) f(x) não assume valores negativos
3-3) Existe um único real a tal que f(a)=0
4-4) 0<f(100)<10^-28

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=x,2^-xl(1+2^-xr)^2
e pergunta quais das afirmações abaixo são verdadeiras. Para isso, vamos (i) manipular algebricamente a expressão para verificar as formas propostas, (ii) analisar o sinal de f(x), (iii) determinar onde f(x)=0, e (iv) estimar o valor de f(100).

Passo 2

Para a afirmação 0–0) temos de mostrar que
l(1+2^-xr)^2 =1+2^,1-x+2^-2x
De fato,
l(1+2^-xr)^2 =1+2cdot2^-x+2^-2x =1+2^1-x+2^-2x,
logo
f(x) =x,2^-xl(1+2^-xr)^2 =x,2^-x1+2^1-x+2^-2x,
e 0–0) é verdadeira.

Passo 3

Para a afirmação 1–1) multiplicamos numerador e denominador de f(x) por 2^x:
f(x) =x,2^-xl(1+2^-xr)^2 =x2^xl(1+2^-xr)^2 =x2^x+2cdot2^x2^-x+2^x2^-2x =x2^x+2+2^-x,
portanto 1–1) também é verdadeira.

Passo 4

O denominador de f(x) é l(1+2^-xr)^2>0 para todo x, e o fator 2^-x também é sempre positivo. Assim o sinal de f(x) é o mesmo de x. Logo f(x) assume valores negativos sempre que x<0, e a afirmação 2–2) é falsa.

Passo 5

Para resolver f(a)=0 basta anular o numerador:
a,2^-a=0Longrightarrow a=0
Como essa é a única solução, a afirmação 3–3) é verdadeira.

Passo 6

Para x=100 temos
f(100)=100cdot2^-100l(1+2^-100r)^2 approx100cdot2^-100
Como 2^-100approx7,9times10^-31, obtemos
f(100)approx7,9times10^-29,
que satisfaz
0<f(100)<10^-28,
logo 4–4) é verdadeira.

Resposta

As afirmações verdadeiras são 0–0), 1–1), 3–3) e 4–4).

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