(UFPE-99) Seja
dada por
Analise as afirmações:
é injetora.
1-1)
não tem raízes no intervalo
.
2-2) A imagem de
não contém 1 .
3-3)
é bijetora.
4-4)
se e só
.
Analise as afirmações:
2-2) A imagem de
3-3)
4-4)
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para verificar quais das afirmações abaixo são verdadeiras:
0) é injetora.
1) não tem raízes em
.
2) A imagem de não contém
.
3) é bijetora.
4) se e só se
.
0)
1)
2) A imagem de
3)
4)
Passo 2
Para testar a existência de raízes, igualamos
, o que equivale a
Como
, concluímos que
tem raiz em
. Logo a afirmação 1 é falsa.
Passo 3
Para ver se
está na imagem, resolvemos
cuja solução positiva é
Assim existe
tal que
, e a afirmação 2 é falsa.
Passo 4
Calculamos a derivada para ver injetividade:
Como
e o denominador é sempre positivo em
, temos
. Logo
é estritamente crescente e, portanto, injetora. A afirmação 0 é verdadeira.
Passo 5
Para verificar sobre bijetividade, observamos os limites nas bordas do domínio:
Como
é contínua e estritamente crescente de
até
, sua imagem é todo
. Logo
é sobrejetora e, junto com a injetividade, é bijetora. A afirmação 3 é verdadeira.
Passo 6
Analisando o sinal de
: em
temos
, então
Dessa forma
exatamente quando
, isto é,
. A afirmação 4, que diz o contrário, é falsa.
Resposta
As únicas afirmações verdadeiras são 0 e 3.