(UFPE-99) Seja f:(0,1) Re dada por
f(x)=1-2 xx^2-x
Analise as afirmações:
0-0) f é injetora.
1-1) f não tem raízes no intervalo (0,1).
2-2) A imagem de f não contém 1 .
3-3) f é bijetora.
4-4) f(x)<0 se e só se x>1 / 2.

Passo 1

O enunciado define a função
f:(0,1)toR, f(x)=1-2xx^2-x,
e pede para verificar quais das afirmações abaixo são verdadeiras:
0) f é injetora.
1) f não tem raízes em (0,1).
2) A imagem de f não contém 1.
3) f é bijetora.
4) f(x)<0 se e só se x>1/2.

Passo 2

Para testar a existência de raízes, igualamos f(x)=0, o que equivale a
1-2x=0Longrightarrow x=tfrac12
Como tfrac12in(0,1), concluímos que f tem raiz em (0,1). Logo a afirmação 1 é falsa.

Passo 3

Para ver se 1 está na imagem, resolvemos
1-2xx^2-x=1 Longrightarrow 1-2x=x^2-x Longrightarrow x^2+x-1=0
cuja solução positiva é
x=-1+raiz52approx0,618in(0,1)
Assim existe xin(0,1) tal que f(x)=1, e a afirmação 2 é falsa.

Passo 4

Calculamos a derivada para ver injetividade:
f'(x) =(-2)(x^2-x)-(1-2x)(2x-1)l(x^2(x-1)^2r) =2x^2-2x+1x^2(x-1)^2
Como 2x^2-2x+1=(2(x-tfrac12)^2+tfrac12)>0 e o denominador é sempre positivo em (0,1), temos f'(x)>0. Logo f é estritamente crescente e, portanto, injetora. A afirmação 0 é verdadeira.

Passo 5

Para verificar sobre bijetividade, observamos os limites nas bordas do domínio:
limxto0^+f(x)=-infty, limxto1^-f(x)=+infty
Como f é contínua e estritamente crescente de -infty até +infty, sua imagem é todo R. Logo f é sobrejetora e, junto com a injetividade, é bijetora. A afirmação 3 é verdadeira.

Passo 6

Analisando o sinal de : em temos , então
Dessa forma exatamente quando , isto é, . A afirmação 4, que diz o contrário, é falsa.

Resposta

As únicas afirmações verdadeiras são 0 e 3.

Exercícios de Livros Relacionados