(UFPE-94) Seja f: Re Re uma função satisfazendo f(x)<f(3) para todo x neq 3. Considere a função g: Re Re definida por g(x)=f(x^3-61) +20 . Determine b de modo que g(x) <= g(b) para todo x real.

Passo 1

O enunciado dá uma função fcolon RtoR tal que ,f(x)<f(3) para todo xneq3. Define-se
g(x)=fl(x^3-61r)+20
e pede-se encontrar b tal que g(x)<= g(b) para todo xinR. O conteúdo envolve reconhecer onde g atinge seu máximo, dado que f tem máximo único em x=3.

Passo 2

Como f(x)<f(3) para todo xneq3, concluímos que f atinge seu valor máximo exatamente em x=3. Adicionar a constante 20 não muda a posição do máximo, e a transformação xmapsto x^3-61 é estritamente crescente (pois tmapsto t^3 é estritamente crescente em R). Logo, g(x) também terá seu máximo quando o argumento de f for 3.

Passo 3

Para que o argumento de f em g(x) seja 3, precisamos resolver
x^3-61=3
Somando 61 a ambos os lados,
x^3=64
e, extraindo raiz cúbica em R,
x=4
Portanto, g(x)<= g(4) para todo x.

Resposta

4

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