(UFRJ-98) O agente Id Ota inventou o seguinte código secreto para a transmissão de datas de certos fatos importantes: o código transforma uma data d-m-a, onde d é o dia, m é o mês e a representa os dois últimos algarismos do ano, em uma nova tripla de números d^{\prime} - m^{\prime}-a^{\prime}, de acordo com a regra
\left(\begin{array}{lll} -2 & 3 & 1 \\\\ -1 & 2 & 1 \\\\ -2 & 3 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} d \\\ m \\\ a \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} d^{\prime} \\\ m^{\prime} \\\ a^{\prime} \end{array}\right)
O código revelou-se um desastre. De fato, várias datas originais distintas ( d, m, a) correspondem a um mesmo código transmitido ( d^{\prime}, m^{\prime}, a^{\prime} ). Por exemplo, as
datas 1/1/97 e 2/2/96 correspondem ao mesmo código 98-98-98, pois:
\left(\begin{array}{lll}-2 & 3 & 1 \\\\ -1 & 2 & 1 \\\\ -2 & 3 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1 \\\\ 1 \\\\ 97\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}-2 & 3 & 1 \\\\ -1 & 2 & 1 \\\\ -2 & 3 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2 \\\\ 2 \\\\ 96\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}98 \\\\ 98 \\\\ 98\end{array}\right) Id Ota pensou entảo em alterar o coeficiente central da matriz, a_{22}, igual a 2, para um outro valor k. Determine, se possivel, os valores de k que fazem o código funcionar bem.

Passo 1

O enunciado dá a transformação de uma data (d,m,a) em (d',m',a') via a multiplicação
A\,(d,m,a)^{T} \;=\;(d',m',a')^{T},
onde
A=\begin{pmatrix} -2 & 3 & 1\\\\ -1 & k & 1\\\\ -2 & 3 & 1 \end{pmatrix},
sendo k o valor que substituirá o coeficiente central original 2. Queremos que datas distintas gerem códigos distintos, isto é, que a transformação seja injetora.

Passo 2

Uma transformação linear em \mathbb{R}^3 é injetora se, e só se, sua matriz é invertível. Para A ser invertível é necessário e suficiente que
\det(A)\neq 0.

Passo 3

Observamos que a primeira e a terceira linha de A são idênticas, pois ambas valem (-2,3,1). Sempre que uma matriz tem duas linhas iguais, seu determinante é zero, independentemente de k. Logo, para todo k,
\det(A)=0.

Passo 4

Como \det(A)=0 para qualquer k, A nunca é invertível. Portanto não existe nenhum valor de k que torne o código injetor.

Resposta

Não há valor de k que faça o código funcionar bem.
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