(UFV-2001) Seja x=3600. Se p é o número de divisores naturais de x, e q é o número dos divisores naturais pares de x, então é CORRETO afirmar que:
a) p=45 e q=36
b) p=36 e q=45
c) p=16 e q=10
d) p=45 e q =12
e) p=16 e q=34

Passo 1

O enunciado dá x=3600 e pede p, o número total de divisores naturais de x, e q, o número de divisores naturais pares de x. O conteúdo é fatoração em primos e aplicação da fórmula que conta divisores a partir dos expoentes.

Passo 2

Fatoramos x=3600 em números primos. Como 3600 = 36 times 100 e 36=6^2=(2cdot3)^2, 100=10^2=(2cdot5)^2, obtemos
3600 = 2^4 times 3^2 times 5^2

Passo 3

Para o número total de divisores p usamos a fórmula: se x=prod pi^ei, então o total de divisores é prod (ei+1). Aqui os expoentes são 4,2,2, logo
p = (4+1)cdot(2+1)cdot(2+1) = 5cdot3cdot3 = 45

Passo 4

Para contar apenas os divisores pares ( q), exigimos que o expoente de 2 seja pelo menos 1, ou seja, e2in1,2,3,4 (4 opções), enquanto os expoentes de 3 e 5 permanecem de 0 a 2 (3 opções cada). Assim
q = 4cdot3cdot3 = 36

Passo 5

Comparando com as alternativas, vemos que p=45 e q=36 corresponde à letra (a).

Resposta

(a)

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