(Mackenzie-2002) O número natural 8.5^k tem 24 divisores positivos. O valor de k é:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7

Passo 1

O enunciado diz que o número natural
N = 8 cdot 5^k
tem 24 divisores positivos. O conteúdo aqui é a fórmula do número de divisores baseada na fatoração prima de N.

Passo 2

Fatorando N em primos, como 8 = 2^3, temos
N = 2^3 cdot 5^k

Passo 3

Para um número
N = p1^e1 p2^e2 cdots pn^en,
o total de divisores positivos é
d(N) = (e1 + 1),(e2 + 1)cdots(en + 1)
No nosso caso,
d(N) = (3+1),(k+1) = 4,(k+1)

Passo 4

Impondo d(N)=24, escrevemos
4,(k+1) = 24
Dividindo ambos os lados por 4,
k+1 = 6 Longrightarrow k = 5

Resposta

5

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