(FGV-SP) Os quatro vértices de um quadrado no plano Argand-Gauss são números complexos, sendo três deles 1+2 i,-2+i e -1-2 i. O quarto vértice do quadrado é o número complexo:
a) 2+i
b) 2-i
c) 1-2 i
d) -1+2 i

Passo 1

O enunciado dá três vértices de um quadrado no plano complexo:
z1=1+2i, z2=-2+i e z3=-1-2i.
Queremos achar o quarto vértice z4. Para isso vamos usar dois pontos: cálculo de distâncias para identificar lados e diagonal do quadrado e a propriedade de que as diagonais de um paralelogramo se bissetam.

Passo 2

Calculamos os quadrados das distâncias entre os pontos para ver quais são lados (mesmo comprimento) e qual é a diagonal (comprimento maior):
|z1-z2|^2=|(1+2i)-(-2+i)|^2=|3+i|^2=3^2+1^2=10,
|z2-z3|^2=|(-2+i)-(-1-2i)|^2=|-1+3i|^2=1^2+3^2=10,
|z1-z3|^2=|(1+2i)-(-1-2i)|^2=|2+4i|^2=2^2+4^2=20
Como há dois segmentos de comprimento raiz10 (lados) e um de comprimento raiz20 (diagonal), concluímos que z1 e z3 são extremos de uma diagonal.

Passo 3

Em qualquer paralelogramo — e o quadrado é um caso especial — as diagonais se cortam em seus pontos médios. Logo,
z1+z3=z2+z4
e daí
z4=z1+z3-z2

Passo 4

Substituindo os valores:
z4=(1+2i)+(-1-2i)-(-2+i) =1-1+2 +,(2-2-1)i =2-i

Resposta

2-i, alternativa (b).

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