(FGV-SP) Os quatro vértices de um quadrado no plano Argand-Gauss são números complexos, sendo três deles
e
. O quarto vértice do quadrado é o número complexo:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá três vértices de um quadrado no plano complexo:
,
e
.
Queremos achar o quarto vértice . Para isso vamos usar dois pontos: cálculo de distâncias para identificar lados e diagonal do quadrado e a propriedade de que as diagonais de um paralelogramo se bissetam.
Queremos achar o quarto vértice
Passo 2
Calculamos os quadrados das distâncias entre os pontos para ver quais são lados (mesmo comprimento) e qual é a diagonal (comprimento maior):
Como há dois segmentos de comprimento
(lados) e um de comprimento
(diagonal), concluímos que
e
são extremos de uma diagonal.
Passo 3
Em qualquer paralelogramo — e o quadrado é um caso especial — as diagonais se cortam em seus pontos médios. Logo,
e daí
Passo 4
Substituindo os valores: